Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Господин Жоффрей, мой школьный учитель, который вел у нас ввод­ный курс исчислений63, умел талантливо преподнести нам условие задач на определение максимума и минимума. Однажды он быстро вбежал в класс и начал рассказывать о своем путешествии через заснеженное поле. Видимо, ветер в одном месте поля намел много снега, покрыв его тяжелым покрывалом, из-за чего учителю пришлось идти гораздо медленнее, а остальная часть поля была чистой, и он шагал по нему легко. В этой ситуации он спросил себя, по какому пути должен идти пешеход, чтобы добраться из пункта А в пункт B как можно быстрее.

Кто-то думал, что нужно тащиться прямо через глубокий снег, чтобы сократить медленную часть пути. Однако в этом случае оставшаяся часть пути заняла бы больше времени.

Еще одна стратегия заключалась в том, чтобы идти по прямой от А к В. Это определенно кратчайшее расстояние, но на преодоление его самой трудной части уйдет больше времени.

Оптимальный путь можно найти с помощью дифференциального исчисления. Это некий компромисс между перечисленными вариантами.

Анализ включает в себя четыре основных этапа. Во-первых, обратите внимание, что общее время в пути, которое мы пытаемся свести к минимуму, зависит от того, где пешеход выбирается из снега. Он может выйти в любом месте, поэтому обозначим как переменную х все возможные точки выхода.

(Ясно, что время в пути зависит также от расположения точек А и В и скорости пешехода в обеих частях поля, но эти параметры заданы. Под контролем пешехода остается только x

.)

Во-вторых, с учетом выбора х и известных значений — точки отправления A и пункта назначения B — мы можем вычислить, сколько времени тратит пешеход на путь по быстрой и медленной части поля. Для расчета каждого этапа пути потребуются теорема Пифагора и старая алгебраическая мантра «расстояние равно скорости, умноженной на время». Суммируя пути, проделанные по легкому и трудному участкам, получим формулу для всего времени T пути как функцию от х.

В-третьих, изобразим график зависимости Т

от х. В нижней части кривой находится точка, которую мы ищем, соответствующая наименьшему времени пути и, следовательно, самому короткому.

В-четвертых, чтобы найти эту самую нижнюю точку, мы взываем к нулевой производной в соответствии с упомянутым выше принципом. Вычисляем производную от T по х, приравниваем ее к нулю и находим х

.

Эти четыре шага требуют знания геометрии, алгебры, а также формул вычисления производных — эти навыки приравниваются к свободному владению иностранным языком, поэтому являются камнем преткновения для многих студентов.

Но окончательный ответ стоит затраченных трудов. Он показывает, что самый быстрый путь подчиняется отношению, известному как закон Снелла. Что? Страшно, что не только свет повинуется этому закону?

Закон Снелла64 описывает, как преломляются лучи света при переходе из воздуха в воду. Например, когда лучи солнца попадают в бассейн. Свет в воде движется медленнее, так же как и пешеход по снегу, и отклоняется таким образом, чтобы минимизировать время движения. Подобным способом свет преломляется, когда переходит из воздуха в стекло или пластик, что происходит в линзах ваших очков.

Пугает то, что свет ведет себя так, будто он осмысленно изучает все возможные пути65, а затем выбирает лучший.

18. Хоть ломтиками, хоть кубиками[23]

Математические знаки и символы часто кажутся загадочными, но лучшие из них — это визуальные ключи к их значениям. Символы нуля, единицы и бесконечности очень напоминают пустую дыру, единичную отметку и бесконечную петлю: 0, 1, . А знак равенства = образован двумя параллельными линиями, поскольку, как писал его создатель валлийский математик Роберт Рекорд, в 1557 году: «Больше не существует двух вещей, которые были бы настолько равными».

В исчислениях самый узнаваемый значок — интеграл . Его изящные линии вызывают в памяти музыкальный ключ или резонаторное отверстие скрипки — подходящее совпадение, учитывая то, что некоторые из очаровательных гармоник в математике выражаются интегралами. Но настоящая причина того, что математик Готфрид Лейбниц выбрал именно этот символ, менее поэтична. Это просто буква S для обозначения суммирования, но с длинной шеей.

А что суммируется — зависит от контекста. В астрономии сила притяжения Земли к Солнцу описывается интегралом. Она представляет собой общее воздействие (то есть сумму) всех сил гравитации, порождаемых каждым атомом Солнца на различных расстояниях от Земли. В онкологии растущая масса опухоли может быть смоделирована с помощью интеграла66. Он позволяет определить общее количество вводимого при химиотерапии лекарственного средства.