Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Но перед тем как перейти к этим вопросам, давайте точно определим, что означает число e71. Его численное значение равно 2,71828 — но это не многое разъясняет. Я могу вам сказать, что e равно пределу суммы

по мере увеличения числа членов, участвующих в этой сумме. Но это тоже не особенно полезно. Давайте лучше посмотрим на е в действии.

Представьте себе, что у вас есть депозит в виде сберегательного счета в размере 1000 долларов в банке, который ежегодно выплачивает невероятно щедрую процентную ставку в 100% годовых. Через год на вашем счете будет 2000 долларов, то есть начальный депозит в размере 1000 долларов плюс 100-процентная ставка по ним, равная еще 1000 долларам.

Прикидываясь дурачком, вы просите у банка еще более выгодные условия: предлагаете выплачивать вам проценты раз в полгода, то есть чтобы банк выплачивал только 50% ставки в течение первых шести месяцев и 50% ставки следующие шесть месяцев. Естественно, вы окажетесь в выигрыше, так как будете получать проценты на проценты. Но насколько?

Ответ на этот вопрос следующий: ваша первоначальная сумма в 1000 долларов возрастет на коэффициент 1,50 за первое полугодие и снова на коэффициент 1,50 во втором полугодии. А поскольку 1,50, умноженное на 1,50, равно 2,25, то через год на вашем счете будет 2250 долларов. Это значительно больше, чем 2000 долларов, которые вы можете получить на изначальных условиях.

А что произойдет, если вы еще надавите на банк и убедите его разбить год на более короткие периоды выплаты процентов: по дням, секундам или даже по наносекундам? В этом случае вы смогли бы сколотить небольшое состояние?

Допустим, год поделен на 100 равных периодов, после каждого из которых выплачивается 1% ставки (при процентной ставке 100% в год, поделенной на 100 частей). Тогда в конце года сумма в 1000 долларов увеличится на коэффициент 1,01, возведенный в 100-ю степень, что приблизительно равно 2,70481. Другими словами, вместо 2000 или 2250 долларов на вашем счете будет бо

льшая сумма, но не превышающая 2704,81 доллара.

И наконец, если сложный процент начисляется бесконечно часто (это называется непрерывным начислением), то общая сумма на счете по истечении одного года будет еще больше, но не превысит 2718,28 доллара. Точный ответ: это произведение 1000 долларов на число е, где е определяется как предельное число

Это наиболее существенный вычислительный аргумент в пользу числа е. Как говорилось в предыдущих главах, где мы вычисляли площадь круга и размышляли о притяжении Земли к Солнцу, дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на исчислении бесконечно малых, от других разделов математики отличаются тем, что стремятся обуздать ужасающую власть бесконечности. Имея дело с пределами производных или интегральных сумм, необходимо всегда очень осторожно подходить к бесконечности.

В процессе приближения к пределу, который вел к e, мы разделили год на все возрастающее число периодов начисления сложных процентов. Можно сказать, разбили его на временные окошки, которые становились все уже и у

же, и в конечном счете подошли к тому, что можно описать как бесконечное множество бесконечно узких окошек. Забавно, что чем чаще в течение определенного периода начисляется процент по вкладу, тем медленнее растут деньги. Тем не менее через год по-прежнему набегает приличная сумма процента, потому что он многократно умножался на протяжении бесконечно многих периодов!

Таков ключ к вездесущности e. Оно часто возникает, когда что-то меняется в результате суммарного действия множества крошечных воздействий.

Рассмотрим кусочек урана в процессе радиоактивного распада. Момент за моментом каждый атом имеет определенный маленький шанс подвергнуться распаду. Произойдет ли это с каждым из них и когда — совершенно непредсказуемо, и каждое такое событие оказывает в целом бесконечно малое влияние. И все же в совокупности эти триллионы событий создают сглаженный, предсказуемый, экспоненциально затухающий процесс радиоактивного распада.

Или подумайте о населении Земли, которое растет в геометрической прогрессии. Во всем мире дети рождаются в случайных местах в непредсказуемые моменты, пока другие люди умирают тоже в случайных местах в непредсказуемые моменты. Каждое событие имеет мизерное в процентном отношении воздействие на демографическую ситуацию в мире, но в совокупности население растет в геометрической прогрессии с очень предсказуемой скоростью.

Есть еще одна причина для появления e, сочетающая в себе огромное число вариантов выбора. Для ее иллюстрации приведу два примера из повседневной жизни, хотя и в очень стилизованной форме.