Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Понятие рода оказалось важным для многих глубинных вопросов в комплексном анализе, что вынудило ученых обратить внимание на топологию поверхностей. Постепенно стало ясно, что существует второй класс поверхностей, отличных от торов с g отверстиями, но тесно с ними связанный. Отличие в том, что торы с g отверстиями – ориентируемые поверхности; интуитивно это означает, что они имеют две четко различающиеся стороны. Они наследуют это свойство от комплексной плоскости, имеющей верхнюю и нижнюю стороны, поскольку винтовые лестницы соединяются так, что это различие сохраняется. Если вместо этого вы соедините два лестничных пролета так, чтобы пол одного из них повернулся вверх, то стороны, ранее бывшие раздельными, соединятся.

О возможности соединения такого рода первым заговорил Мёбиус, чья лента имела одну сторону и один край. Клейн пошел дальше, концептуально склеив в круглый диск края ленты Мёбиуса, чтобы избавиться от края. Получившаяся поверхность, в шутку прозванная бутылкой Клейна, имеет только одну сторону и вовсе не имеет краев. Если мы попытаемся изобразить ее в привычном трехмерном пространстве, ей придется пройти себя насквозь. Но в качестве абстрактной поверхности (или поверхности, помещенной в четырехмерное пространство) она не пронзит себя.

Теперь теорему о торах с g отверстиями можно переформулировать так: любая ориентируемая поверхность (или конечное пространство без границ) топологически эквивалента сфере с g

дополнительными отверстиями (где g может быть равно 0). Есть соответствующая классификация и для неориентируемых (односторонних) поверхностей: они могут быть образованы поверхностью под названием проективная плоскость путем добавления

g отверстий. Бутылка Клейна как раз и является проективной поверхностью с одним отверстием.

Комбинация этих двух результатов называется теоремой о классификации поверхностей. Она позволяет описать в топологическом эквиваленте любую возможную поверхность (или конечное пространство без границ). С доказательством этой теоремы топология двумерных пространств – поверхностей – может считаться вполне изученной. Это, конечно, не значит, что на любой вопрос о поверхностях теперь легко найти ответ, но по крайней мере это дает хороший задел для исследований новых сложных проблем. В любом случае, теорема о классификации поверхностей – чрезвычайно важный инструмент двумерной топологии.

Бутылка Клейна. Видимое самопересечение – не более чем иллюзия, возникающая из-за трехмерности изображения

ЖЮЛЬ-АНРИ ПУАНКАРЕ 1854–1912