Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Тем, кто хочет научиться мыслить в понятиях топологии, часто помогает представление об изучаемом пространстве как о единственном существующем предмете. Вовсе ни к чему пытаться вписать его в окружающее пространство. Это позволяет полностью сосредоточиться на внутренних свойствах пространства. Представьте на минуту мелкое существо, обитающее, так сказать, на топологической поверхности. Как может такая козявка, не имея представления обо всем окружающем ее пространстве, пытаться понять, на чем она обитает? Как прикажете ей давать характеристики такой поверхности «изнутри»? К 1990 г. стало ясно, что единственный способ ответить на этот вопрос – представить существование на этой поверхности замкнутых петель и способы их деформации. Например, на сфере любая замкнутая петля может непрерывно деформироваться до точки – стянувшись в нее. Окружность, вращающаяся вокруг экватора, может постепенно смещаться к северному полюсу, делаясь всё меньше, пока не совпадет с самим полюсом.

И наоборот, всякая поверхность, не эквивалентная сфере, содержит петли, которые не могут быть деформированы до точки. Они проходят сквозь отверстие, и то не дает им стягиваться. Итак, сфера может быть определена как единственная

поверхность, в которой всякая замкнутая петля может стянуться до точки.

Топология в трех измерениях

Естественным шагом после плоскостей – двумерных топологических пространств – становится трехмерное пространство. Теперь объектами изучения станут многообразия в понимании Римана, за исключением того, что понятия расстояния игнорируются. В 1904 г. Анри Пуанкаре, один из величайших математиков всех времен, пытался понять свойства трехмерных многообразий. Он открыл ряд методов для достижения этой цели. Один из них, гомология

, изучает взаимоотношения между областями в многообразиях и их границами. Другой – гомотопия – отслеживает изменения, происходящие с замкнутыми петлями в многообразиях в процессе их деформации.

Гомотопия тесно связана с методами, отлично служившими при изучении плоскостей, и Пуанкаре искал аналогичные результаты для трехмерного пространства. Так он пришел к одному из самых важных вопросов математики.

Он помнил о свойстве сферы как единственной поверхности, у которой всякая замкнутая петля может стянуться. Работает ли это свойство в трех измерениях? На первых порах он предположил, что да. Это казалось очевидным, и ученому даже не пришло в голову, что он делает необоснованное допущение. Позже ему стало ясно, что одна из правдоподобных версий этого утверждения откровенно ошибочна, а другая тесно связанная с нею формулировка может оказаться верной, несмотря на сложности с доказательством. Он задал вопрос, впоследствии названный гипотезой Пуанкаре. Если трехмерное многообразие (без границ, или конечного пространства, и т. д.) обладает тем свойством, что всякая замкнутая петля в нем может стянуться до точки, то такое многообразие топологически должно быть эквивалентно 3-сфере (естественному аналогу обычной сферы).

Последовавшие попытки доказать теорему завершились успешными обобщениями для четырех и более измерений. Топологи продолжали работу с изначальной гипотезой Пуанкаре, в трех измерениях, – без успеха.

В 1980-х гг. Уильям Тёрстон высказал идею, которая могла бы превзойти гипотезу Пуанкаре, будучи более амбициозной. Его гипотеза геометризации пошла дальше, обобщая свойства всех трехмерных многообразий, а не только тех, где всякая замкнутая петля может стянуться. Отправной точкой стала новая интерпретация классификации поверхностей в терминах неевклидовой геометрии.

Тор можно получить, взяв квадрат в евклидовой плоскости и отождествив его противоположные края. Тогда он плоский – с нулевой кривизной. У сферы имеется постоянная положительная кривизна. Тор с двумя или более отверстиями может быть представлен как поверхность с постоянной отрицательной кривизной. Иными словами, топология поверхностей может быть заново интерпретирована в терминах геометрии трех типов: одного евклидова и двух неевклидовых, точнее, собственно евклидовой геометрии, эллиптической геометрии (положительная кривизна) и гиперболической (отрицательная кривизна; геометрия Лобачевского).

Может ли быть нечто аналогичное в трех измерениях? Тёрстон указывал на ряд осложнений: оказывается, здесь задействовано не три, а восемь типов геометрий. И уже нет возможности использовать какую-то одну из них для данного многообразия: последнее должно быть разбито на несколько частей, чтобы для каждой использовать свою геометрию. Он сформулировал свою гипотезу геометризации: всегда есть систематический способ разбить трехмерное многообразие на части, каждая из которых соответствует одной из восьми геометрий.