Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

В этой работе нет чертежей. Излагаемые мною методы не требуют построений, геометрических или механических рассуждений, а только алгебраических действий, подчиненных регулярному и единообразному ходу.

К тому времени стали очевидны ловушки и недостатки наглядных доказательств, и Лагранж задался целью не прибегать к ним. Теперь схемы и рисунки снова были в деле, подкрепленные неопровержимой логикой и доказательствами, но упорство Лагранжа, решившего описать законы механики только формулами, дало бесценный толчок развитию новой области знаний. Любая система может быть описана с помощью самых разных переменных. Например, для маятника обычная координата – угол его отклонения, но расстояние по горизонтали от него до вертикали ничем не хуже.

Скорость глобального ветра и колебания температуры, вычисленные по расширенной версии уравнений Навье – Стокса

Уравнения движения могут выглядеть совершенно по-разному в различных системах координат, и Лагранжу это казалось неэлегантным. Он нашел способ так переписать их, что они становились схожими для любой системы координат. Первым его изобретением стали парные координаты. Для каждой координаты q

(такой, например, как угол отклонения маятника) существовала соответствующая ей координата скорости (угловая скорость движения маятника). Если имеется k координат положения, то будет и k координат скорости. Вместо дифференциальных уравнений второго порядка Лагранж вывел уравнения первого порядка по положению и скорости. Он сформулировал это в терминах величины, сейчас называемой лагранжианом.

Уильям Гамильтон развил идеи Лагранжа, сделав их еще более элегантными. Физически он использовал импульс вместо скорости, чтобы определить дополнительные координаты. Математически он вычислил величину, известную сейчас как гамильтониан, или функция Гамильтона, которую можно интерпретировать – для многих систем – как энергию. В теоретических работах по механике, как правило, используется формализм Гамильтона, оказавшийся актуальным и для квантовой механики.