Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Здесь обычные функции, такие как экспонента, синус, косинус или логарифм, не помогут найти решение. Но можно воспользоваться методами анализа в виде степенного ряда. Он определяет новые функции, так называемые функции Бесселя. Простейшая функция Бесселя обозначается как J_k(x); но есть и другие. Степенные ряды позволяют вычислить J_k(x) с необходимой точностью.

Функции Бесселя естественным образом возникают в задачах, связанных с кругами и цилиндрами, такими как колебание круглой мембраны, распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе, теплопроводность в цилиндрическом металлическом стержне и физика лазеров.

Интенсивность лазерного излучения описывается функцией Бесселя J₁(x)

Пределы

Идеи Больцано дали толчок дальнейшему усовершенствованию. Он сделал возможным определение предела бесконечной последовательности чисел и, следовательно, ряда, который является суммой бесконечной последовательности. Так, его формализм подразумевает:

1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + …

и т. д. до бесконечности. Это осмысленная сумма, и ее величина точно равна 2. Не чуть-чуть меньше, не бесконечно малой величине меньше 2, а ровно 2. Чтобы понять, как это работает, предположим, что у нас есть последовательность чисел:

a₀, a₁, a₂, a₃, …

и т. д. до бесконечности. Мы можем сказать, что a_n стремится к пределу a по мере того, как n стремится к бесконечности, если для любого числа ε > 0 существует такое число N, что разница между a_n и а меньше, чем ε, для любого n > N. (Символ ε, один из традиционно используемых математиками, – греческая буква эпсилон.) В этом определении все числа конечные – никаких бесконечно малых или бесконечно больших. В дополнение к бесконечному ряду выше взглянем на его конечные суммы:

a₀ = 1,

a₁ = 1 + ¹/₂ = ³

/₂,

a₂ = 1 + ¹/₂ + ¹/₄ = ⁷/₄,

a₃ = 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ = ¹⁵/₈

и т. д. Разница между a_n и 2 равна 1/2ⁿ. Чтобы сделать ее меньше ε, мы берем n > N = log₂ (

¹/_ε).

Ряд, имеющий конечный предел, называют сходящимся. Конечная сумма определяется как предел последовательности конечных сумм, полученных добавлением всё новых ее элементов. Если такой предел существует, ряд сходящийся. И производные, и интегралы – лишь разновидности пределов. Они существуют – иными словами, обретают математический смысл – при условии, что их пределы сходятся. Пределы, как отмечал Ньютон, – некая величина, которая позволяет определить, как некое другое число приближается к бесконечности или 0. Но при этом число не может достичь бесконечности или 0.

Сегодня исчисление в целом опирается на непоколебимый фундамент. Ранее его главным недостатком было то, что, прежде чем прибегнуть к поиску предела, никто не интересовался, есть ли вообще сходимость. Лучшим способом сделать это было бы доказательство еще нескольких более общих теорем о том, какие виды функций непрерывны, или дифференцируемы, или интегрируемы, и какие последовательности и ряды сходятся. Именно этим и занялись математики, и именно поэтому мы можем уже не тревожиться из-за нестыковок, отмеченным епископом Беркли. Поэтому мы больше не противимся использованию рядов Фурье: теперь можно точно определить, когда они сходятся, а когда нет, и уж, во всяком случае, четко понять, в каком смысле они сходятся. Существует достаточно возможностей выбрать тот ряд Фурье, который вам нужен.

Степенные ряды

Вейерштрасс открыл, что одинаковые идеи работают и с комплексными числами, и с действительными. Любое комплексное число z = x + iy имеет модуль , что, согласно теореме Пифагора, равно расстоянию от 0 до z на комплексной плоскости. Если мерить величину комплексного выражения с помощью его модуля, то определения предела, ряда и т. п., сформулированные для действительных чисел еще Больцано, тут же перенесутся в область комплексного анализа.

Вейерштрасс отметил, что один особый вид бесконечного ряда кажется особенно полезным. Он известен как степенной ряд и выглядит как многочлен бесконечной степени:

f(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + a₃

z³ + …,

где коэффициенты a_n – конкретные числа. Вейерштрасс углубился в исследование этого вопроса, стремясь полностью провести комплексный анализ степенных рядов. Результаты вышли блестящими.

Например, вы можете описать экспоненциальную функцию выражением:

e^z = 1 + z + ¹/₂ z² + ¹/₆ z³ + ¹/₂₄ z⁴ + ¹/₁₂₀ z⁵ + …,