Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Около 1800 математиков и физиков превратили исчисление в незаменимый инструмент познания мира, и возникшие в этой области проблемы дали толчок к открытию принципиально новых концепций и методов (например, способов решения дифференциальных уравнений), превративших исчисление в самую яркую и многообещающую область математики. Красота и сила его неотразимы. Но критические замечания о недостатках его логического обоснования, высказанные епископом Беркли, остались без ответа. А поскольку ученые уже успели продвинуться в более сложные области, здание в целом делалось всё более уязвимым. Первые приверженцы использования бесконечных рядов, еще не отдавая себе отчета в их огромном значении для науки, выдавали как заведомо ошибочные идеи, так и гениальные открытия. Фурье-анализ не имел основ, и разные математики требовали доказательств противоречивых теорем. В ход пошли такие термины, как «бесконечно малая», без четких определений; без конца возникали логические парадоксы; даже такое понятие, как функция, становилось предметом спора. Безусловно, столь плачевная ситуация не могла длиться вечно.

Чтобы разобраться в этом хаосе, требовались ясная голова и непоколебимая готовность заменить интуитивные построения точным знанием, даже ценой понимания. Главными игроками на этом поле стали Бернард Больцано, Коши, Нильс Абель, Петер Дирихле и – более всех – Вейерштрасс. Благодаря их усилиям к 1900 г. даже самые сложные манипуляции с рядами, пределами, производными и интегралами стали выполняться без опаски, четко и без парадоксов. Появилась новая отрасль математической науки – анализ. Исчисление стало одним из центральных ее аспектов; получили логическое обоснование такие отвлеченные и фундаментальные концепции, как непрерывность и пределы, лежащие в основе идеи исчисления. А вот бесконечно малые величины были запрещены.

Фурье

Пока Фурье не взбаламутил омут, математики купались в приятной уверенности, будто они точно знают, что такое функция. Это был некий определенный процесс f, когда берут число х и получают другое, f(x

). Эти числа х вполне логично зависят от f. Если, например, f(x) = 1/x, то x не может быть равно 0. Если f

(x) = √x и мы имеем дело с действительными числами, то x должно быть положительным. Но когда дело дошло до точных определений, математики немного растерялись.

Как мы теперь понимаем, причиной затруднений было то, что они пытались свести сразу несколько различных свойств в единую концепцию функции: не просто сформулировать правило, по которому x связано с другим числом, f(x), но найти свойства, которыми обладает это правило: непрерывность, дифференцируемость, возможность быть выраженной в виде формулы и т. д.

В частности, они даже не были уверены, как трактовать функции, имеющие разрыв, например:

f(x) = 0, если x ≤ 0; f(x) = 1, если x > 0.

Эта функция внезапно скачет от 0 к 1, как только x

минует 0. Все почему-то считают, что явной причиной такого прыжка становится изменение формулы: от f(x) = 0 к f(x) = 1. Интуитивно казалось, что это единственное объяснение появления такого скачка; что любая одинарная формула автоматически избавит нас от таких скачков, а значит, небольшое изменение x всегда повлечет за собой небольшое изменение f(x).