Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Труды художников Возрождения разрешили многие проблемы в геометрии перспективы, но они оставались полуэмпирическими, страдая нехваткой логических обоснований, поддерживавших здание евклидовой геометрии. Эта проблема обоснований была в итоге решена Бруком Тейлором и Иоганном Генрихом Ламбертом в XVIII в. Но к тому времени в геометрии произошли еще более поразительные перемены.

Дезарг

Первую нетривиальную теорему в проективной геометрии открыл инженер-архитектор Жерар Дезарг. Ее опубликовал в своей книге в 1648 г. Абрахам Босс. Дезарг доказал следующую важную теорему: «Предположим, треугольники АВС и А´

В´С´ находятся в перспективе. Это означает, что три линии, АА´, ВВ´ и СС´, проходят через одну точку. Тогда три точки P, Q

и R, в которых пересекаются продолжения трех пар сторон треугольника, лежат на одной прямой». Этот результат теперь нам известен как теорема Дезарга. В ней не упоминаются ни длина, ни углы: она целиком посвящена отношениям между прямыми и точками. А значит, это и есть проективная теорема.

Теорема Дезарга

Есть одна хитрость, делающая теорему очевидной: представьте себе, что рисуете изображение трехмерной фигуры, у которой два треугольника лежат в двух плоскостях. Тогда на линии, по которой пересекаются эти плоскости, и будут расположены три точки Дезарга P, Q и R. Без особого труда так даже можно доказать эту теорему, построив соответствующую трехмерную фигуру, чьи проекции выглядят как два треугольника. Значит, мы можем использовать методы Евклида, чтобы доказывать проективные теоремы.

Аксиомы Евклида

Проективная геометрия отличается от евклидовой настолько, насколько близка вам такая точка зрения (каламбур намеренный!), но корнями она по-прежнему уходит в геометрию Евклида. Это исследования новых видов преобразований, т. е. проекций, но изначально модель пространства, подвергающегося преобразованию, принадлежит Евклиду. Тем не менее проективная геометрия в целом заставила математиков стать более восприимчивыми к возможности существования нового образа геометрического мышления. И старый вопрос, пролежавший под спудом целые века, снова стал актуальным.

Практически все аксиомы Евклида настолько очевидны, что ни одному человеку в здравом уме не придет в голову подвергать их сомнению. Например, аксиома о том, что все прямые углы равны. Если она неверна, значит, что-то не так с самим определением прямого угла. Но пятый постулат, касающийся параллельных прямых, имеет совершенно другой оттенок. Он слишком сложен. Вот как его формулировал сам Евклид: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Звучит скорее как теорема, а не как аксиома. Было ли это теоремой? Может ли в таком случае быть у нее доказательство, исходящее из чего-то еще более простого, интуитивного?

Упростил формулировку постулата в 1795 г. Джон Плейфэр. Он выразил ее так: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Эта аксиома логически эквивалентна пятому постулату Евклида: они являются следствием друг друга, при этом учитывают остальные аксиомы.

Лежандр

В 1794 г. Адриен-Мари Лежандр открыл еще одну эквивалентную формулировку постулата, в которой говорится о подобных треугольниках – фигурах, имеющих равные углы, но разные длины сторон. Однако он, как и большинство математиков того времени, предпочел бы что-то более интуитивное. Им казалось, что пятый постулат избыточен: это следствие из других аксиом, и что только для него упущено доказательство. И Лежандр перепробовал всё, что мог, чтобы доказать его. Используя только другие аксиомы, он доказал – для своего удовольствия, по крайней мере, – что сумма внутренних углов треугольника не превосходит 180°. (Ему наверняка было известно, что в сферической геометрии сумма больше, но ведь это геометрия сферы, а не плоскости.) Если сумма всегда равна 180°, то отсюда сразу логически вытекает пятый постулат. И он предположил, что сумма может быть меньше 180°, и построил свои рассуждения на этом.

Неожиданным следствием оказалась зависимость между площадью треугольника и суммой его углов. Точнее, то, что площадь пропорциональна разнице между реальной суммой углов и 180°. Это казалось многообещающим: если бы он мог построить треугольник, у которого стороны вдвое больше, чем у исходного, то столкнулся бы c противоречием, потому что площадь большего треугольника не может быть равной площади меньшего. Тем не менее он попытался построить больший треугольник и снова уперся в пятый постулат.