Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Однако ученый всё же извлек из своего опыта кое-что полезное. Безотносительно пятого постулата он доказал, что некоторые треугольники не могут иметь сумму углов больше 180°, а другие имеют сумму углов меньше 180°. Если один треугольник имеет углы, которые в сумме дают больше, чем 180°, то таким же свойством обладали бы и все треугольники; аналогично было бы при сумме меньше 180°. Значит, есть три возможных варианта:

• сумма углов в любом треугольнике равна 180° (по евклидовой геометрии);

• сумма углов в любом треугольнике меньше 180°;

• сумма углов в любом треугольнике больше 180° (случай, который Лежандр вроде бы исключил; позже выяснилось, что для этого он воспользовался очередным недоказанным утверждением).

Саккери

В 1773 г. Джироламо Саккери, иезуитский священник из Павии, опубликовал своей героический труд «Евклид, очищенный от всех пятен» («Euclides ab omni naevo vindicatus»). Он также пришел к трем возможным вариантам, из которых первый соответствовал евклидовой геометрии, но для объяснения различий использовал четырехугольник. Предположим, у нас есть четырехугольник ABCD, где

A и B – прямые углы, а AC = BD. Тогда, по утверждению Саккери, в евклидовой геометрии выходит, что C и D – прямые углы. Менее очевидно, если C

и D будут прямыми углами в любом подобного вида четырехугольнике и что отсюда будет вытекать пятый постулат.

Не прибегая к пятому постулату, Саккери доказал, что углы C и D равны. Остается два возможных варианта:

• гипотеза для тупых углов: C и D больше прямого угла;

• гипотеза для острых углов: C и

D меньше прямого угла.

Идея Саккери состояла в рассмотрении каждой из этих гипотез по отдельности, чтобы возникло логическое противоречие. Тогда евклидова геометрия оставалась единственной логически возможной.

Четырехугольник Саккери: сторона CD нарочно сделана кривой, чтобы избежать евклидовых заключений об углах C и D

Ученый начал с гипотезы для тупых углов и через ряд теорем вывел – как ему казалось, – что углы C и D должны в конце концов оказаться прямыми. Это противоречие, а значит, гипотеза для тупых углов ошибочна. Затем Саккери перешел к острым углам, что потребовало нового ряда теорем, причем все они были верны и любопытны сами по себе. Попутно ученый доказал довольно сложную теорему о семействе линий, проходящих через одну общую точку, в которой говорилось, что две из этих линий будут иметь общий перпендикуляр в бесконечности. На самом деле это не противоречие, хотя Саккери думал именно так и объявил гипотезу для острых углов также опровергнутой.

Оставался единственный вариант – с геометрией Евклида, и Саккери счел свою задачу выполненной. Но другие ученые заметили, что на самом деле никакого противоречия из гипотезы для острого угла не было, появилась лишь очередная удивительная теорема. И к 1759 г. д’Аламбер объявил статус пятого постулата: «скандал с началами геометрии».

ЧТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ДАЛА ИМ

К 1813 г. Гаусс успел окончательно убедиться, что антиевклидова, затем астральная и, наконец, неевклидова геометрия логически возможны. Он задался вопросом, что тогда можно считать истинной геометрией пространства, и измерил углы треугольника, образованного тремя горами в Нижней Саксонии: Броккен, Хохехаген и Инзельберг. Чтобы результаты не искажались кривизной Земли, в измерениях он использовал местную плоскость горизонта. Сумма измеренных им углов оказалась на 15 угловых секунд больше 180°. По всему выходило, что это тупой угол, но возможность ошибки в наблюдениях сводила на нет всю ценность опыта. Гауссу требовался гораздо больший треугольник и более точные инструменты для измерения углов.

Ламберт

Немецкий математик Георг Клюгель прочел книгу Саккери и выразил новаторское и даже несколько шокирующее мнение, что убежденность в правоте пятого постулата относится скорее к области опыта, чем логики. Он утверждал, что некая особенность нашего образа мышления и представления о пространстве заставляет нас верить в существование параллельных линий со свойствами, которые описал Евклид.