Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций (проблема, происхождение которой лежало в работах Клейна и Пуанкаре по данному вопросу).

23. Развитие методов вариационного исчисления. Гильберт значительно способствовал прогрессу в этой области анализа (которая была напрямую связана с проблемами 19 и 20, касающимися существования, единственности и свойств решений вариационного исчисления). Эта тема обладала чрезвычайной жизнеспособностью в XX веке, что говорит об отличном чутье Гильберта, закончившего список проблем общим вопросом из этой области.

В Париже, не имея достаточно времени, Гильберт успел обозначить только 10 из своих 23 проблем: континуум-гипотезу (проблема 1); непротиворечивость арифметики (2); аксиоматизацию физических теорий (6); некоторые проблемы теории чисел, включая гипотезу Римана (7 и 8); невозможность разрешения уравнения седьмой степени (13); вопрос о кривых и поверхностях, определенных полиномиальными уравнениями (16); аналитические решения регулярных проблем вариационного исчисления (19); существование обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным группам монодромии (21), и вопрос Пуанкаре о параметризации алгебраических кривых с помощью автоморфных функций (22).

Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, то в первую очередь спросил бы: доказали ли гипотезу Римана?

Давид Гильберт

Не так давно историк математики Тиле Рюдигер в одной из тетрадей Гильберта обнаружил, что тот хотел добавить еще одну проблему (24), которую в итоге отверг. Проблема состояла в определении критерия простоты или доказательства максимальной простоты некоторых доказательств. Гильберт намеревался развить общую теорию о методах доказательства в математике. Как ни парадоксально, через несколько лет он сам основал (см. главу 5) теорию доказательств.

Однако в списке был ряд важных упущений: несколько путей, по которым он не пошел. Матричная алгебра, статистика, логика или прикладная математика, бурно развивавшиеся в конце века, наряду с зарождающимися топологией, теорией меры и функциональным анализом для Гильберта интереса не представляли. Точно так же проблема трех тел и последняя теорема Ферма были упомянуты, но не предложены в качестве открытых проблем математики будущего.

В следующей таблице показано современное состояние 23 проблем Гильберта.

Проблема

Описание

Состояние

1

Континуум - гипотеза

Курт Гёдель (1938) и Пол Коэн (1963) доказали ее неразрешимость как истинную или ложную на основе стандартного набора аксиом теории множеств

2

Непротиворечивость аксиом арифметики

Курт Гёдель (1931) доказал, что установление неп роти вореч и вости арифметики является формально неразрешимой проблемой

3

Определение понятия объема без применения анализа

Опровергнута Максом Деном (1902)

4

Перечисление всех метрик, прямые линии которых являются геодезическими

Положительно решена Алексеем Погореловым (1975)

5

Дифференцируются ли непрерывные группы автоматически?

Положительно решена Эндрю Глизоном (1952)

6

Математическое изложение аксиом физики

Частично решена:

— механика: Георг Гамель (1909);

— термодинамика: Константин Каратеодори (1909);

— специальная теория относительности: Альфред Робб (1914) и Константин Каратеодори (1923);

— квантовая механика: Джон фон Нейман (1932);

— теория вероятностей: Андрей Колмогоров (1933)

7

Является ли a

^b

трансцендентным, если a/=0,1 алгебраическое и b иррациональное алгебраическое?

Решена независимо Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером (1934)

8

Гипотеза Римана и гипотеза Гольдбаха

Не решена

9

Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле

Решена Эмилем Артином (1923)

10

Найти универсальный алгоритм диофантовых уравнений

Отрицательно решена Матиясевичем (1970)

Проблема

Описание

Состояние

11

Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами

Частично решена Хельмутом Хассе (1923) и Карлом Зигелем (1930)

12

Распространение теоремы Кронекера

Не решена

13

Решение общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных

Отрицательно решена Арнольдом и Колмогоровым (1957)

14

Доказательство конечности некоторых полных систем функций

Отрицательно решена через контрпример Масаеси Нагатой (1959)

15

Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта

Отрицательно решена Бартелем ван дер Варденом (1930)

16

Топология алгебраических кривых и поверхностей

Не решена

17

Представление определенных форм в виде квадратов

Решена положительно Эмилем Артином (1927) и Георгом Крайзелем (1957)

18

Гипотеза Кеплера

Решена Томасом Хейлсом (2005)

19

Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления аналитические?

Утвердительно решена Сергеем Бернштейном (1904)

20

Всели задачи вариационного исчисления с определенными граничными условиями имеют решение?

Решена в течение XX века

21

Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии