Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Естественно, весомыми были и обстоятельства времени и места. После смерти старого Кронекера и отставки Вейерштрасса немецкий академический мир начал оживать, академические кафедры закружились в танце, в результате Клейн и Гильберт заняли благоприятное положение и обосновались в Гёттингене. Вскоре стараниями Феликса Клейна, большого ученого и политика, Гёттинген превратился в важнейший математический центр мира, обладающий впечатляющей группой преподавателей, среди которых выделялись Гильберт и Минковский (в штат университета его зачислили в 1902 году), а также многочисленными подающими надежды учениками.

За 35 лет преподавания в Гёттингене было сделано очень многое. Список учеников Гильберта впечатляет: Отто Блюменталь, Макс Ден, Эрхард Шмидт (1876-1959), Рихард Курант, Эрнст Цермело (1871-1953), чемпион мира по шахматам Эмануэль Ласкер (1868-1941) и другие. Среди них выделяется Герман Вейль, он защитил докторскую диссертацию под руководством Гильберта в 1908 году и сменил его в 1930 году, когда тот вышел в отставку. Гильберт всегда держался как наставник, помогающий по мере возможности. Так, например, когда возникло недовольство по поводу назначения преподавателем в университете молодой выдающейся женщины-математика Эмми Нётер (1882-1935), своим самым неуступчивым коллегам Гильберт иронично заявил: «Не думаю, что пол кандидата является аргументом против его назначения. Все-таки это университет, а не общественная баня». Это еще один пример широты его взглядов.

ГЛАВА 3

Аксиоматизация физики

Первые годы нового века Гильберт работал в области вариационного исчисления и интегральных уравнений. Ему удалось придать форму новому ответвлению анализа — функциональному анализу. Кроме того, он сыграл ключевую роль в математической формулировке общей теории относительности и квантовой механики. Гильберт соревновался с Эйнштейном в поиске уравнений, которые связали бы гравитацию с теорией относительности.

Но это не все: так называемое гильбертово пространство стало в итоге математической структурой, распахивающей двери в квантовое пространство.

Одно из недавних открытий в области истории математики касалось безудержного интереса, который Гильберт проявлял к физике своего времени. Дружба с Минковским и знакомство с работами Герца оказались катализаторами его интереса в юные годы, а математическая традиция Гёттингена, без сомнения, сделала все остальное (Гаусс, Риман и Клейн разделяли его любовь к физике). Его научная деятельность совпала с рождением двух физических учений XX века — квантовой теории (1900) и теории относительности (1905), — что усилило его интерес в первые два десятилетия нового века.

С приезда в Гёттинген в 1895 году Гильберт вел множество курсов и семинаров, посвященных математической физике. Неудивительно, что на лекции в Париже в 1900 году, говоря о шестой проблеме, он отметил: исследования в области оснований геометрии подсказывают тот же — аксиоматический — подход к физическим наукам, в которых у математики заметная роль. Механика, оптика, а также термодинамика и теория электричества должны следовать скрупулезной модели, испробованной геометрией. Строгость — не сугубо математическое свойство. Физика может достичь абсолютной строгости по стандартам аксиоматического метода.

В 1905 году, избрав это направление, немецкий математик предложил аксиоматическое изложение механики, описав понятие силы через различные аксиомы векторного пространства. Затем он аксиоматизировал теорию вероятностей — в том виде, в каком она возникла в рамках кинетической теории газов. Ряд выпускников Геттингена, учеников Гильберта, внесли в это существенный вклад. В 1909 году Георг Гамель (1877-1954) аксиоматизировал классическую механику, а Константин Каратеодори (1873-1950) сделал то же для термодинамики. Сам Гильберт совершил гигантский шаг, в 1915 году сформулировав собственные уравнения для общей теории относительности. Наконец, в конце счастливых 1920-х годов в сотрудничестве с Лотаром Нордгеймом (1899-1985) и Джоном фон Нейманом (1903-1957) он попытался включить квантовую механику в аксиоматическую систему.

Однако его интерес к физике не может рассматриваться в отрыве от анализа. Его внимание к анализу сменялось вниманием к физике и обратно, и в первые два десятилетия века это происходило непрерывно. Гильберт сосредоточился на двух областях, довольно близких к анализу, — вариационном исчислении и интегральных уравнениях. Действительно, в 3 из 23 проблем, которые Гильберт представил в Париже, речь шла о вариационном исчислении и, в частности, о развитии теории уравнений в частных производных.

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ