Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Гёттингенский профессор придумал метафору, которая просто и ясно объясняет некоторые парадоксы, связанные с бесконечностью и открытые математиками одновременно с логическими парадоксами. Несмотря на то что это кажется невероятным, в отеле с бесконечным числом номеров всегда есть место для новых гостей, хотя все номера заняты. Действительно, если мы переселим гостя из первого номера во второй, того, что во втором, — в четвертый, того, что в третьем, — в шестой, и так далее, мы освободим все нечетные номера. Поскольку существует бесконечное количество нечетных чисел, есть место не только для нового постояльца, который подойдет к гостиничной стойке, но также и для бесконечного числа постояльцев. Из этой же самой ситуации мы могли бы сделать больше удивительных выводов...

— В отеле заняты все номера, и один гость уезжает. Тогда число постояльцев остается тем же самым (бесконечным).

— Если уезжают все гости, занимающие четные номера, то число постояльцев остается тем же самым (бесконечным).

— Однако если из отеля уедут все гости, занимающие номера, например с пятого и далее, то число постояльцев не будет тем же самым (в этот раз их число будет конечным).

Все это наводит нас на мысль о гибкости математической бесконечности и об осторожности, с которой нужно высказываться о ней.

Чтобы избежать парадоксов, Рассел и Уайтхед сформировали теорию типов, в которой для того, чтобы X Y было правильно составленной формулой, требуется, чтобы тип значения Y был непосредственно выше типа значений X. Таким образом, пропозиция «класс всех стульев не является стулом» — не истинная и не ложная, а попросту лишена смысла, поскольку стульями могут быть только объекты, а не классы объектов. Другими словами, ошибочно распространять свойство одного типа на другой. При применении этой хитроумной теории авторы могли утверждать, что формулировки, ведущие к парадоксу Рассела, перестают иметь смысл: R R теперь являлось неправильно составленной формулой, поскольку в ней было задействовано не больше одного типа.

Математика [...] обладает не только истиной, но и высшей красотой, холодной и суровой, подобной скульптуре.

Бертран Рассел

В Principia после устранения парадоксов Уайтхед и Рассел перешли к выведению математики из логики, поскольку в их понимании граница здесь невозможна. С технической точки зрения проект логификации математических теорем натолкнулся на многочисленные трудности. Ученым потребовалось более 379 страниц (!), чтобы доказать, что 1 + 1 = 2. Настоящее безумие. Кроме того, они были вынуждены расширить логику до крайне обобщенной теории отношений, в которую включили такие малоудовлетворительные аксиомы, созданные для данного случая, как редуктивность и бесконечность. Неуклюжая аксиома редуктивности работала как нечто вроде deus ex machina, — авторы прагматично обосновывали ее тем, чтобы работать с антиномиями и логифицировать математику: когда формула оказывается слишком сложной, предполагалось, что ее всегда можно упростить до другой, более низкого уровня.