Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Традиционная логика пребывала не в лучшем состоянии, несмотря на то что, по-видимому, исчерпала себя еще при Аристотеле. Но логика начала лукавить с математикой. Раймунд Луллий (1232-1315) в Ars Magna и Хуан Карамуэль (1606— 1682) в Mathesis Audax задумали вид логической алгебры, в которой все рациональные истины понимались в рамках вида вычислений универсальной записи, названной Лейбницем как calculus ratiocinator. Философы больше не испытывали необходимости в полемике, иначе они решали бы их, как будто их можно вычислить. Они усаживались бы за свои столы, брали в руки перья и говорили друг другу: посчитаем! Эти семена проросли в алгебру логики, которую Джордж Буль (1815-1864) вывел в своих «Законах мышления» в 1854 году.

Но Фреге больше интересовался логикой алгебры, чем алгеброй логики, и в своей «Концептографии» формализовал логику пропозиций и предикатов (логику первого порядка), то есть рассуждений о некоторых объектах и свойствах, удовлетворяющих этим объектам, но не о свойствах, которые проверяют такие свойства (это епархия логики второго порядка). Позже в «Основах арифметики» (1884) он заложил базу программы логицизма, которую последовательно изложил в томах «Основных законов арифметики, выведенных концептографически» (1893-1903). Фреге утверждал, что логика предшествует математике и, следовательно, математические понятия должны быть сведены к логическим. Математика — лишь дополнение к логике.

Значит, арифметика была логикой в последней инстанции, и арифметические понятия должны быть проанализированы в чисто логических терминах: «вычислить значит вывести». Говоря словами Фреге, «арифметические предложения — это логические законы, хотя не первичные, а производные». Если упростить окаменелую строгость работ Фреге, в которых педантичности и точности поровну, можно сказать, что он пришел к определению чисел с помощью классов, то есть с помощью множеств, или ансамблей. Каждому натуральному числу соответствовал класс всех классов, которые были подобны (равномощны) заданному. Например, число 3 — это то, что есть общего у всех следующих классов: лепестки трилистника, цвета светофора и так далее. Таким образом, число 3 может быть идентифицировано классом всех этих классов. В целом Фреге идентифицировал число 0 с классом всех пустых классов, 1 — с классом всех одночленных классов, и так далее. И поскольку есть только одно пустое множество (которое обозначается как перечеркнутый кружок, здесь заменен ), 0 = . Тогда число 1 определяется как класс из всех классов, равномощных классу [], обладающий единственным элементом. Аналогично определялись остальные числа.

АКСИОМЫ ПЕАНО

В 1888 году Рихард Дедекинд опубликовал книгу с привкусом логицизма «Что такое числа и для чего они служат»(Гильберт прочитал ее в молодости). Однако Дедекинд определил натуральные числа принципиально иначе, чем Фреге. В 1889 году в книге под названием «Принципы арифметики, изложенные согласно новому методу» итальянский математик Джузеппе Пеано подтвердил аргументы Дедекинда, хотя и не был знаком с его работой, и определил натуральные числа посредством трех первоначальных понятий (нуль, функция последующего члена и равенство) и пяти аксиом.

1. Нуль есть натуральное число.

2. Следующее за натуральным числом есть натуральное число.

3. Нуль не следует ни за каким натуральным числом.

4. Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.

5. Если какое-либо предложение доказано для нуля и если из допущения, что оно верно для натурального числа А, вытекает, что оно верно для следующего за А натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.