Волшебный двурог

вается колодой, существует еще и иная система, называемая «числом великим словенским», и там уже «последнее» число равняется 10⁴⁸. А теперь обрати внимание на то, что эти индийские поэмы, как и их отражения в старинных русских рукописях, никогда не называют большое число сразу, а показывают, как путем постепенного увеличения вполне обозримого числа мы получаем числа, которые уже превосходят наше воображение. Есть еще одна замечательная индийская легенда о том, как царевич Бодхисатва сватался к дочери царя Дандапани и какими вопросами испытывал царевича премудрый Арджуна. Речь идет о системах счисления и о том, каковы примерно размеры получаемых при этом чисел. Эта прекрасная сказка очень напоминает одно замечательное творение нашего с тобой любимца Архимеда. Оно построено по тому же принципу, как и сказка об индийском царевиче. Хочешь послушать?

— Да-да! — сказал Илюша. — Про Архимеда мне все очень интересно.

— Отлично. Дело было в третьем веке до нашей эры. Архимед в этом сочинении, которое написано в форме послания к сиракузскому царю Гелону, идет примерно тем же путем, каким шли индийские математики. Он показывает на очень хорошем примере, что человек в рассуждениях может составить числа, превышающие всякий, даже самый необъятный на первый взгляд пример. Архимедов «Счет песчинок» (так называется это его сочинение) начинается следующими словами: «Некоторые — о царь Гелон! — думают, что число песчинок бесконечно. Не только тех песчинок, что находятся вблизи Сиракуз и по всей Сицилии, но и всех тех, что рассеяны по всем обитаемым и необитаемым странам земли. Другие полагают, что число это не бесконечно, но невозможно определить словесно количество, которое превышало бы число всех этих песчинок». Архимед утверждает, что мнения эти неправильны, и опровергает их таким образом. Возьмем песчинку и предположим, что в одном маковом зернышке находится 10⁴, или десять тысяч таких песчинок. Не правда ли это будет довольно маленькая песчинка?

— Ясно, — отвечал Илюша, прямо пылинка.

— 173 —

— Далее Архимед говорит, что один палец равен сорока диаметрам макового зернышка, а стадия (греческая мера длины, которая равна примерно ста шестидесяти метрам) меньше десяти тысяч пальцев. Затем он говорит, что если мы возьмем шар с диаметром в одну стадию, то объем его будет меньше, чем объем куба, ребро которого равно одной стадии, что очевидно, ибо такой шар можно вписать в такой куб. Из этого он заключает, что в шаре с диаметром в одну стадию не может заключаться песчинок более нежели 10²¹, то есть более секстильона. Ясно, что объем этого шара менее, чем 104 кубических пальцев, он меньше, чем 40³ · 10¹² зернышек мака, а следовательно, меньше, чем 10⁴ ·

40³ · 10¹², или 64 · 10¹⁹, песчинок, а стало быть, он меньше, чем секстильон, равный 10

²¹.

Далее он полагает, что если построить шар с диаметром, равным диаметру Солнечной системы, который, как он полагает, меньше 10¹⁰ стадий, то объем этого шара будет менее 10³⁰ кубических стадий, а следовательно, в нем будет заключаться менее, чем 10⁵¹ песчинок, или, по нашей с тобой системе, менее квинтильона децильонов. Наконец, Архимед строит шар с радиусом, равным расстоянию от Земли до неподвижных звезд, которое, по его мнению, менее десяти тысяч диаметров Солнечной системы, и утверждает, что в таком шаре будет заключаться менее 10⁶³ песчинок, или, по нашим с тобой обозначениям, менее нонильона децильонов. Может быть, тебе эта величина станет немного яснее, если я скажу, что в переводе на современные меры объем этой сферы Архимеда менее нежели 5 ·

10⁵⁴ кубических сантиметров.

Но Архимед не употреблял позиционной системы, как не пользовался он и показателями степени. Он строит для этого рассуждения свою систему чисел, начиная с греческого числа «мириада», которое равно десяти тысячам, то есть 10⁴. Тогда числа до мириады он называет первыми числами, затем идет мириада мириад, или 10⁸, которая будет единицей вторых чисел. Мириада мириад вторых чисел, или 10¹⁶, будет единицей третьих чисел, и так далее. И вот теперь оказывается, что для того, чтобы определить, сколько песчинок будет в сфере, радиус которой равен расстоянию от Земли до неподвижных звезд, достаточно взять число, которое будет менее тысячи мириад восьмых чисел Архимеда.

Таким образом, Архимед на очень несложном и очень ярком примере показал, что человеческая способность последовательно строить числа легко справляется с величинами, для которых трудно подобрать пример, который что-нибудь говорил бы нашим чувствам. Заметь, что Архимед нигде не определяет точно своих чисел. Он ограничивается тем, что указывает только на то, что искомое число не может превышать некоторой определенной величины. Таким образом,

— 174 —

он нам указывает на то, что называется порядком величины. Мне кажется, да ты и сам можешь легко догадаться (уже не маленький!), что большего в таком рассуждении и не надо.