Читаем Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение полностью

Число a записывается в троичном представлении в виде a = 0, c1c2c3… где a = c1/3 + 

c2/9 + c3/27 + +… Числа 3, 9, 27 играют ту же роль, что 10, 100, 1000 играют в более распространенном десятичном представлении.

Например:



Подчеркивание цифр означает, что мы используем троичное представление.

Фома Аквинский (1224–1274) утверждал, что даже если пройдет бесконечное количество дней, ни один из них не будет удален от настоящего момента на бесконечное время. Точно так же для реальной бесконечной прямой справедливо, что расстояние между любыми двумя точками всегда будет конечным, и, как сказал Гегель, бесконечность нельзя найти нигде на бесконечной прямой.

Конкретное описание множества Кантора дается в следующем задании.

Простая головоломка

Покажите, что в троичном представлении всех точек множества Кантора не используется цифра 1.

Теперь легко видеть, что мощность множества Кантора равна ℵ, потому что в множество Кантора входят только те числа, в троичном представлении которых используются только цифры 0 и 2. Тем не менее ясно, что это множество чисел имеет такую же мощность, что и множество чисел, которые можно записать с использованием только цифр 0 и 1. Запись чисел с использованием только цифр 0 и 1 – это попросту двоичный способ записи чисел, и таким образом можно записать все числа, заключенные между 0 и 1. Следовательно, мы приходим к выводу, что множество Кантора имеет ту же мощность, что и множество всех чисел отрезка [0,1], а значит, его мощность равна ℵ.

Этот факт весьма удивителен, так как множество Кантора не имеет никакой длины. Действительно, сумма длин всех отрезков, которые мы удаляем, равна:



Таким образом, длина множества Кантора есть результат вычитания из 1 суммарной длины всех этих отрезков, то есть 1, а следовательно, длина множества Кантора равна 0.

Множество Кантора – действительно очень необычный объект. Оно содержит невычислимое количество точек – суммарная длина которых равна нулю! – которые находятся на множестве отрезков прямой! Кроме того, множество Кантора считают первым фракталом. Но этой теме придется подождать другой книги.

ЕЩЕ НЕМНОГО О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ

Между прочим, число 1 можно записать в троичном представлении как 0,2222… а в десятичном – как 0,999999… Когда я пишу, что 1 = 0,999999… многие удивленно поднимают бровь (или даже обе). Они пытаются объяснить мне, что это неверно, что 1 хоть совсем ненамного, но все же больше, чем 0,999999…

Чаще всего бывает почти невозможно убедить кого-нибудь в моей правоте. Но это не значит, что я не попытаюсь это сделать.

Попробуйте вычесть 0,9999… из 1. Что у вас получается? Если ваш результат хоть на сколько-нибудь отличается от нуля, значит, вы совершаете логическую ошибку.

Или же попробуем сделать вот что. Пусть a = 0,9999999… В таком случае 10

a = 9,999999… Вычтя одно число из другого, получим 10 a – a = 9,999999… – 0,999999… А это превосходным образом дает 9a = 9, то есть a = 1.

Если уж и это вас не убедило, мне очень жаль.

Заключение

У книги о бесконечности не может быть конца; бесконечность – это нескончаемая история. Поэтому я не стану писать заключения, а дам вам одну очень красивую задачу, и вы сможете обдумывать ее столько, сколько захотите.

Взгляните на следующее равенство:


1/9801 = 0,00010203040506070809101112131415161718192021

2223242526272829303132333435363738394041424344

4546474849505152535455565758596061626364656667

6869707172737475767778798081828384858687888990

919293949596979900010203…979900010203…


Видите, что тут происходит?

Не видите?

Ну хорошо.

Вот вам то же самое, но в лучшем разрешении:


1/9801 =0,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

Перейти на страницу:

Все книги серии Научный интерес

Зачем мы спим
Зачем мы спим

До недавних пор у науки не было полного представления о механизмах сна, о всем многообразии его благотворного влияния и о том, почему последствия хронического недосыпания пагубны для здоровья. Выдающийся невролог и ученый Мэттью Уолкер обобщает данные последних исследований феномена сна и приглашает к разговору на темы, связанные с одним из важнейших аспектов нашего существования.«Сон — это единственное и наиболее эффективное действие, которое мы можем предпринять, чтобы каждый день регулировать работу нашего мозга и тела. Это лучшее оружие матушки-природы в противостоянии смерти. К сожалению, реальные доказательства, разъясняющие все опасности, которым подвергаются человек и общество в случае недосыпания, до сих пор не были в полной мере донесены до людей. Это самое вопиющее упущение в сегодняшних разговорах о здоровье. Исправить его как раз и призвана моя книга, и я очень надеюсь, что она превратится для читателя в увлекательное путешествие, полное открытий. Кроме того, книга нацелена на пересмотр оценки сна и изменение пренебрежительного отношения к нему».

Мэттью Уолкер

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
Так полон или пуст? Почему все мы – неисправимые оптимисты
Так полон или пуст? Почему все мы – неисправимые оптимисты

Как мозг порождает надежду? Каким образом он побуждает нас двигаться вперед? Отличается ли мозг оптимиста от мозга пессимиста? Все мы склонны представлять будущее, в котором нас ждут профессиональный успех, прекрасные отношения с близкими, финансовая стабильность и крепкое здоровье. Один из самых выдающихся нейробиологов современности Тали Шарот раскрывает всю суть нашего стремления переоценивать шансы позитивных событий и недооценивать риск неприятностей.«В этой книге описывается самый большой обман, на который способен человеческий мозг, – склонность к оптимизму. Вы узнаете, когда эта предрасположенность полезна, а когда вредна, и получите доказательства, что умеренно оптимистичные иллюзии могут поддерживать внутреннее благополучие человека. Особое внимание я уделю специальной структуре мозга, которая позволяет необоснованному оптимизму рождаться и влиять на наше восприятие и поведение. Чтобы понять феномен склонности к оптимизму, нам в первую очередь необходимо проследить, как и почему мозг человека создает иллюзии реальности. Нужно, чтобы наконец лопнул огромный мыльный пузырь – представление, что мы видим мир таким, какой он есть». (Тали Шарот)

Тали Шарот

Психология и психотерапия
Зачем мы спим. Новая наука о сне и сновидениях
Зачем мы спим. Новая наука о сне и сновидениях

До недавних пор у науки не было полного представления о механизмах сна, о всем многообразии его благотворного влияния и о том, почему последствия хронического недосыпания пагубны для здоровья. Выдающийся невролог и ученый Мэттью Уолкер обобщает данные последних исследований феномена сна и приглашает к разговору на темы, связанные с одним из важнейших аспектов нашего существования.«Сон – это единственное и наиболее эффективное действие, которое мы можем предпринять, чтобы каждый день регулировать работу нашего мозга и тела. Это лучшее оружие матушки-природы в противостоянии смерти. К сожалению, реальные доказательства, разъясняющие все опасности, которым подвергаются человек и общество в случае недосыпания, до сих пор не были в полной мере донесены до людей. Это самое вопиющее упущение в сегодняшних разговорах о здоровье. Исправить его как раз и призвана моя книга, и я очень надеюсь, что она превратится для читателя в увлекательное путешествие, полное открытий. Кроме того, книга нацелена на пересмотр оценки сна и изменение пренебрежительного отношения к нему». (Мэттью Уолкер)

Мэттью Уолкер

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
Изобретение науки. Новая история научной революции
Изобретение науки. Новая история научной революции

Книга Дэвида Вуттона – история великой научной революции, результатом которой стало рождение науки в современном смысле этого слова. Новая наука – не просто передовые открытия или методы, это новое понимание того, что такое знание. В XVI веке изменился не только подход к ней – все старые научные термины приобрели иное значение. Теперь мы все говорим на языке науки, сложившемся в эпоху интеллектуальных и культурных реформ, хронологические рамки которой автор определяет очень точно. У новой цивилизации были свои мученики (Джордано Бруно и Галилей), свои герои (Кеплер и Бойль), пропагандисты (Вольтер и Дидро) и скромные ремесленники (Гильберт и Гук). Она дала начало новому рационализму, покончившему с алхимией, астрологией и верой в колдовство. Дэвид Вуттон меняет наше представление о том, как происходили эти знаковые преобразования.«Наука – программа исследований, экспериментальный метод, взаимосвязь чистой науки и новой техники, язык отменяемого знания – появилась в период с 1572 по 1704 г. Последствия этого видны до сих пор – и, по всей вероятности, не исчезнут никогда. Но мы не только используем технологические преимущества науки: современное научное мышление стало важной частью нашей культуры, и теперь нам уже трудно представить мир, в котором люди не говорили о фактах, гипотезах и теориях, в котором знание не было основано на свидетельствах и где у природы не было законов. Научная революция стала почти невидимой просто потому, что она оказалась удивительно успешной». (Дэвид Вуттон)

Дэвид Вуттон

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература

Похожие книги

Гравитация
Гравитация

В книге рассказывается о развитии представлений о тяготении за всю историю науки. В описании современного состояния гравитационной теории основное внимание уделено общей теории относительности, но рассказано и о других теориях. Обсуждаются формирование и строение черных дыр, генерация и перспективы детектирования гравитационных волн, эволюция Вселенной, начиная с Большого взрыва и заканчивая современной эпохой и возможными сценариями будущего. Представлены варианты развития гравитационной науки, как теоретические, так и наблюдательные.

Александр Николаевич Петров , Маркус Чаун , Мелисса Вест , Тея Лав , Юлия Ганская

Любовное фэнтези, любовно-фантастические романы / Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Научная литература / Самиздат, сетевая литература / Любовно-фантастические романы
Как захватить Вселенную. Подчини мир своим интересам. Практическое руководство для вдохновленных суперзлодеев
Как захватить Вселенную. Подчини мир своим интересам. Практическое руководство для вдохновленных суперзлодеев

Завоевание мира – это большая работа. У любого суперзлодея есть куча вопросов: как обустроить идеальное место для секретной базы? Как спланировать и реализовать ограбление века? Как управлять погодой и жить вечно? У автора бестселлера «Как изобрести все», популярного писателя Райана Норта есть ответы на все вопросы, волнующие начинающего злодея. В своем увлекательном пособии он подробно описывает диковинные схемы с использованием передовых технологий, дает забавные и иногда совершенно абсурдные советы по завоеванию мира, так что интересное времяпрепровождение вам обеспечено. В формате a4.pdf сохранен издательский макет.

Райан Норт

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Зарубежная образовательная литература / Образование и наука
Теория «жизненного пространства»
Теория «жизненного пространства»

После Второй мировой войны труды известного немецкого геополитика Карла Хаусхофера запрещались, а сам он, доведенный до отчаяния, покончил жизнь самоубийством. Все это было связано с тем, что его теорию «жизненного пространства» («Lebensraum») использовал Адольф Гитлер для обоснования своей агрессивной политики в Европе и мире – в результате, Хаусхофер стал считаться чуть ли не одним из главных идеологов немецкого фашизма.Между тем, Хаусхофер никогда не призывал к войне, – напротив, его теория как раз была призвана установить прочный мир в Европе. Концепция К. Хаусхофера была направлена на создание единого континентального блока против Великобритании, в которой он видел основной источник смут и раздоров. В то же время Россия рассматривалась Хаусхофером как основной союзник Германии: вместе они должны были создать мощное евразийское объединение, целью которого было бы освоение всего континента с помощью российских транснациональных коммуникаций.Свои работы Карл Хаусхофер вначале писал под влиянием другого немецкого геополитика – Фридриха Ратцеля, но затем разошелся с ним во взглядах, в частности, отвергая выведенную Ратцелем модель «семи законов неизбежной экспансии». Основные положения теории Фридриха Ратцеля также представлены в данной книге.

Карл Хаусхофер , Фридрих Ратцель

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Педагогика / Образование и наука