100 великих научных открытий

Что касается целых чисел, то их «вторая половина» — отрицательные числа — была открыта сразу после того, как у людей сформировалось представление о ноле. Конечно, то, что из одного яблока как-то неудобно отнимать два, замечали давно. Но чисел, которые отображали бы результат, просто не было, да и разве можно этот результат себе представить? Первым, кто решился ввести «невозможные» числа со знаком минус, стал греческий ученый Дифант, и случилось это в III в. уже нашей эры. Однако на протяжении еще 6 веков человечество мучилось вопросом, как решать уравнения и не получатьотрицательный результат. Несколько способов предложил узбекский ученый Абу Абдулла аль-Хорезми (783–850) в своем труде «Аль-Джебр» (дословно: «Восстановление положительных величин») ― от названия этого трактата образовалось слово «алгебра». Впрочем, в конце концов к «минусовым» числам все привыкли — с их помощью оказалось удобно записывать долги, — и группа целых чисел, включающая отрицательные, положительные (натуральные) и ноль, сложилась полностью.

А между тем люди уже знали, что помимо целых чисел существуют дробные, они же рациональные. И что есть еще какие-то странные числа, которые получаются, к примеру, при попытке извлечь квадратный корень из числа 2.

В VII в. до н. э. индусы попробовали найти такое число, которое можно умножить на него же и получить 61, но у них ничего не вышло.

А сто лет спустя с этим явлением столкнулся греческий математик Пифагор. Вообще, Пифагор учил своих последователей основам математической гармонии, которая предусматривала обычные дроби. Так, стороны прямоугольников легко находились по соотношению между собой: если ширина четко делилась на два одинаковых отрезка, а длина — на семь таких же отрезков, то первую принимали за единицу, а вторую — за ⁷⁄₂. А если принять половину ширины за единицу измерения, то площадь фигуры можно определить, умножив 2 на 7. Однако, когда дело дошло до измерения сторон мистической пентаграммы, все перепуталось. Пентаграмма состоит из равнобедренных прямоугольных треугольников, и Пифагор нашел, что сумма квадратов катетов такого треугольника равна квадрату гипотенузы. Приняв длину каждого катета за единицу, ученый вычислил длину гипотенузы — корень квадратный из числа 2 — и…растерялся. Что за число такое получается? Конца-края ему нет!

Потом Пифагор от противного доказал, что это число нельзя представить в виде рациональной дроби, и дал ему название иррационального. Впоследствии выяснилось, что иррациональные числа, в отличие от рациональных, не содержат систематически повторяющихся комбинаций цифр — в них все непредсказуемо. А кроме того, если рациональные числа можно посчитать, то иррациональных бессчетное множество.

Таким образом, целые, рациональные и иррациональные числа объединились в группу вещественных, или действительных. А позже оказалось, что в их компании кое-чего не хватает, а именно значений, которые получаются при извлечении корня из отрицательных чисел. Речь идет о числах комплексных.

Комплексные числа

Фактически эти «виртуальные» числа были открыты за 5 столетий до нашей эры обычным студентом Героном, который жил в египетском городе Александрия. Герону дали задание определить полный размер пирамиды, и расчеты привели его к тому, что нужно отнять 144 из 81, а потом еще и найти корень полученного числа (‒63). Герон решил, будто что-то напутал, и не стал даже пытаться проделать данную операцию.

В VIII в. математики выяснили, что квадратный корень обычного положительного числа может быть и с плюсом, и с минусом (поскольку минус на минус дает плюс), но в обратном направлении этот закон не действует: из отрицательного числа корень извлечь никак не получится. Ошибочность данного убеждения впервые была доказана лишь в XVI в., а поспособствовала этому очень запутанная, почти детективная история.

В тот период наука только просыпалась после долгой средневековой спячки, когда церковные догмы правили бал, а все достижения мудрых греков были забыты. Но так или иначе человечество стремилось к улучшению качества жизни, а для этого нужно было развиваться — проводить научные исследования, делать открытия, заниматься изобретательством, торговать… Не удивительно, что одной из первых после долгого застоя воспрянула математика. В разных городах Европы даже начали проводиться состязания в решении задач — победитель получал не только славу, но и хорошее денежное вознаграждение.

В 1520-х лучшим математиком слыл итальянский профессор Сципион дель Ферро: только ему удавалось решать кубические уравнения вроде x + bx = c. В давние времена и греки, и вавилоняне, и арабы легко справлялись с уравнениями, где корень возведен в квадрат (пусть для этого ученым и приходилось чертить геометрические фигуры), но как поступать с кубическим корнем — долгое время не знал никто. Потому не удивительно, что Ферро снискал всеобщее восхищение, а его ученики получили козырь, которым можно было бить карты даже самых маститых математиков.