100 великих научных открытий

В 1534 г. один из них, Никколо Тарталья (1499–1557), получил вызов от ученика Ферро по имени Антонио Фиоре. Самонадеянный юноша дал Тарталье 30 задач на решение кубических уравнений, будучи уверенным, что соперник сдастся без боя. Однако Тарталья подумал-подумал и… нашел свой способ вычислить неизвестные величины, тогда как Фиоре не осилил ни его заданий, ни даже собственных.

Вскоре после турнира слухи о феерической победе Никколо Тартальи дошли до Джероламо Кардано (1501–1576) — именитого врача, инженера, физика и математика, который уже тогда разработал основные принципы теории вероятностей. Желая во что бы то ни стало выведать алгоритм решения «нерешаемых» уравнений, Кардано пришел к Тарталье и долго уговаривал его поделиться тайным знанием: мол, скрывать бессмысленно — все равно никто с тобой тягаться не сможет. Тарталья скрепя сердце согласился, но взял с Кардано слово хранить алгоритм в секрете. Джероламо, конечно, слово дал — и, разумеется, нарушил его, описав схему решения в своей книге «Великое искусство». Благодаря этому все лавры достались ему — именно его стали считать автором волшебной формулы, как ни пытался добиться справедливости Тарталья.

Работая над книгой, Кардано обнаружил интересную особенность «украденного» алгоритма: подчас он требовал извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Например, чтобы найти числа, которые в сумме давали 10, а при умножении — 40, ученый решал квадратное уравнение и получал два ответа, содержащих число √–15. Не разобравшись, что делать с такими результатами, Кардано назвал их хитроумными, но бесполезными, а вычисления — неуловимыми.

Впрочем, в 1572 г. другой итальянец, Рафаэль Бомбелли (1526–1572), определил, что даже из отрицательных чисел можно извлекать корни, в том числе кубические. А 65 лет спустя французский ученый и философ Рене Декарт (1596–1650) поместил мнимые, по его же выражению, числа вроде x + y √–1 в собственную систему координат — и увидел кое-что любопытное. Если на горизонтальной оси абсцисс отложить вещественную часть этого числа (х), а на вертикальной — мнимую (y

), то само число отобразится в виде точки на плоскости. Причем совокупность точек, отвечающих корням отрицательного числа, отзеркалит ряд корней «одноименного» обычного числа. Скажем, кубические корни числа ‒1 представлены точками, которые лежат на вершинах равностороннего треугольника слева от оси ординат, занимая верхнюю и нижнюю плоскости, а корни из числа 1 образуют такой же треугольник, только зеркально отраженный справа от оси ординат.

В 1916 г. французский математик Гастон Жюлиа попробовал поступательно возводить комплексные числа в какую-либо степень (например, базовое число — в куб, затем полученное число — в куб и т. д.) и каждое значение отмечать в системе координат. В итоге точки сложились в причудливый узор, состоящий из одинаковых элементов, повторяющихся во все меньшем и меньшем размере (подобные фигуры называются фракталами — их можно увидеть в листьях папоротника, соцветиях романеску, раковинах улиток и пр.).

Между тем в начале XVIII в. ученые все еще сомневались в практическом значении комплексных чисел. Немецкий математик Готфрид Лейбниц называл мнимый корень из числа ‒1 «уродом из сферы идей, двойственной сущностью, зависшей между бытием и небытием». Лишь в 1830-х, когда операциями с комплексными числами занялся немец Карл Гаусс (который и ввел этот термин), все признали: искусство извлечения кубических корней из отрицательных значений может принести массу пользы и новых открытий.

В 1833 г. ирландский математик Уильям Гамильтон (1805–1865) начал эксперименты со свойством комплексных чисел указывать направление поворота в системе координат. Уильяму хотелось научиться умножать тройки комплексных чисел, чтобы получать целостную картину вращения в трехмерном пространстве, но он понятия не имел, как это сделать. Переживая за отца, дети даже спрашивали: «Пап, ну как там у тебя с умножением?» На что Уильям неизменно отвечал: «Пока никак». Решение пришло 16 октября 1843 г. во время утренней прогулки: ученый понял, что умножать нужно не три, а четыре числа, и сразу же нацарапал на мосту формулу, в которой были три мнимые единицы, равные квадратному корню из числа ‒1 и указывающие на повороты и вращения в четырех измерениях. Исходя из этого равенства, Гамильтон описал векторное четырехмерное пространство формулой a

 + bi+ cj + dk

, где a, b, c, d — обычные числа, а i, j, k — те самые мнимые единицы, и назвал его кватернионом (по примеру тетрактиса, смоделированного Пифагором в качестве символа вселенской гармонии).

В ноябре Гамильтон наконец представил свое открытие членам Британской академии наук, и восхищенные ученые (среди которых был и физик Джеймс Максвелл) в один голос заявили, что это переворот в изучении свойств пространства. Ныне кватернионы активно используются в робототехнике и компьютерной графике, да и вообще комплексные числа очень помогают разработчикам электрических приборов и средств связи.

Функция