Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, что

это означает. Каждое количество представлено коллекцией всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих коллекций, а неравенство — их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, которое из них больше, а которое меньше. (Не запутайтесь: слова «больше» и «меньше» относятся к количествам, а не к представляющим их коллекциям множеств!)

Спросим уже знакомых нам не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов — в предположении, что стада различны по численности. Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то бо

льшим является количество коз. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то большим будет количество овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно — множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который действует применительно к любым множествам. Решение состоит в том, чтобы к предложенной нашими скотоводами формулировке добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.

Вот теперь мы можем сказать, что континуальная мощность больше счётной. В самом деле, эти мощности различны, но в континуальном множестве действительных чисел можно выделить счётную часть — например, натуральный ряд. Счётную часть можно выделить в любом бесконечном множестве, поэтому счётная мощность — наименьшая из всех бесконечных мощностей. Одна из замечательных теорем Кантора утверждает, что количество всевозможных частей какого-либо множества всегда больше, чем количество элементов в самом этом множестве. (Читатель легко проверит этот факт для конечных множеств; надо только не забыть учесть пустую часть и часть, совпадающую со всем множеством.) В частности, количество всех частей натурального ряда больше счётного количества натуральных чисел, оно несчётно. А количество всех частей прямой линии больше континуального количества точек на ней.