Апология математики, или О математике как части духовной культуры

И ещё об одном виде чисел — о так называемых алгебраических числах. Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале «от простого к сложному». Математиков долгое время интересовал вопрос, бывают ли действительные числа, не являющиеся алгебраическими; такие числа называют «трансцендентными». Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 году путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 году и, соответственно, в 1882 году была доказана трансцендентность известных чисел

e и π. Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким выше было установлено существование чисел иррациональных. Именно, в 1874 году Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.

Понятие эквивалентности служит основой для возникновения понятия количества элементов множества. Количество

— это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждой коллекции эквивалентных друг другу множеств это количество своё — одно и то же для всех множеств этой коллекции. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество федеральных округов России. Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ «по», присутствующих, согласно учению китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в «Притчах Соломона». И множество невест ефрейтора Збруева. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть не только перечисленные только что множества, но и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, то обнаружим, что в них присутствует некая общность. Эта общность есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае это количество называется, как всем известно, так: семь. А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется так: восемь.

Надеемся, что читатель уже пришёл к выводу, что все счётные множества обладают одним и тем же количеством элементов. В частности, количество всех квадратов равно количеству всех натуральных чисел. Количество элементов какого-либо счётного множества (а у всех счётных множеств количество элементов одно и то же!) называется счётной мощностью и обозначается буквой алеф с нижним индексом ноль

(произносится алеф-ноль). Вот и соответствующая цитата из одноимённого рассказа Борхеса — кстати, с довольно отчётливой формулировкой эффекта Кортасара: «в Mengenlehre Алеф — символ трансфинитных множеств, где целое не больше, чем какая-либо из частей».

В математике вообще количество элементов в каком-либо множестве называют мощностью,

или кардинальным числом, этого множества. В частности, все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемую континуальной; она обозначается посредством строчной буквы цэ из печатного готического алфавита.

Описанный выше способ, посредством которого существование иррациональных и трансцендентных чисел можно получить из общих соображений, без предъявления конкретных примеров, мы вправе назвать количественным, ибо он основан на несовпадении количеств — счётного количества, присущего как множеству рациональных, так и множеству алгебраических чисел, и континуального количества, присущего множеству всех действительных чисел.