Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их — в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) — римскими цифрами, как это и принято в русской орфографии. Ведь мы пишем «Генрих VIII», а не «Генрих 8». Порядковое число — это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы изложение), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям — ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В свои студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения испытал не только я.

Итак, раннее детство. Я размышляю, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль, что раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, то, значит, я плохой. Но тогда я хороший — и так далее. Какую замечательную бесконечную лестницу я выстроил, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и так далее. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («я плохой»), II («я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («я плохой, потому что себя похвалил») и так далее. С лестницей же в целом («я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число (омега). Далее следуют + I («я плохой, потому что себя похвалил»), + II, + III и так далее. А потом, за ними всеми, + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить это ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат выражения «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и так далее. С семантической точки зрения эти выражения представляют собою порядковые числительные. С синтаксической точки зрения порядковые числительные должны быть похожи на прилагательные, и потому следовало бы говорить «омеговый», «омега плюс первый» и так далее; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора — на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, ¹

/₂, ²/₃, ³/₄, ⁴

/₅ и так далее и всех чисел 1, 1¹/₂, 1²/₃, 1³

/₄, 1⁴/₅ и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент ¹/₂ получит номер II, элемент ²

/₃ получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер, элемент 1¹/₂ получит номер + I, элемент 1²/₃ получит номер + II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер + ω, и элемент 3 получит номер ++ I.

Глава 8. Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике