Апология математики (сборник статей)

Стремление придать бóльшую убедительность математическим доказательствам привело к появлению так называемого аксиоматического метода. Если говорить вкратце, он состоит в следующем. Выбирают основные положения рассматриваемой математической теории, которые принимают без доказательств, а из них уже все остальные положения выводят чисто логическими рассуждениями. Эти основные положения получили название аксиом, а те, которые из них выводятся, – теорем. Ясно, что всякая аксиома также выводится из списка аксиом, поэтому удобно аксиомы рассматривать как частный случай теорем (в противном случае слову «теорема» надо было бы дать такое длинное определение: теорема – это то, что выводится из списка аксиом, однако в этот список не входит).

Первая попытка создать систему аксиом для какой-нибудь теории была предпринята Евклидом в III в. до н. э. Система аксиом из его «Начал» оставалась единственной системой аксиом геометрии вплоть до конца XIX в., когда появились новые системы, отвечающие современным требованиям. Вот как Евклид определяет, что такое точка и что такое прямая: «Точка есть то, что не имеет частей», «Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней». С современных позиций эти определения непонятны и не могут быть использованы в доказательствах.

А как же определяются точка и прямая в современных аксиоматических системах? Ответ может удивить неискушённого читателя (искушённого читателя ничто не может удивить). Эти понятия не определяются никак. Не определяется и значение выражений «точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку». Если вдуматься, то чего-то подобного, т. е. предъявления основных понятий без определения, и следовало ожидать, ведь всё определить невозможно: одно определяется через другое, другое – через третье, и где-то приходится остановиться. Уж лучше сделать такую остановку честно и открыто. Спрашивается: а как же в таком случае можно использовать эти понятия в доказательствах? Вот тут на помощь и приходят аксиомы.

В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные исходные свойства. На эти свойства и опираются доказательства. Поясним сказанное на примере. Среди основных понятий геометрии присутствуют такие: 'точка', 'прямая', 'лежать на', 'лежать между'. Что такое точки и прямые, не разъясняется, а говорится лишь, что бывают такие объекты: одни называются точками, другие – прямыми. А про лежать на говорится, что это некоторое отношение между точками и прямыми. Это означает следующее: если взять произвольную точку и произвольную прямую, то осмысленно спросить, лежит ли эта точка на этой прямой; точка либо лежит на прямой, либо нет. А вот спрашивать, скажем, лежит ли прямая на прямой, бессмысленно: отношение 'лежать на' для пары прямых не определено, как не определено оно и для пары точек, и для пары (прямая, точка). Лежать между – это некоторое трёхместное отношение между точками; сказанное означает, что если даны три точки A, B, C, то точка B либо лежит между точками A и C, либо нет. Природа предметов 'точка' и 'прямая' и отношений 'лежать на' и 'лежать между' никак не раскрывается. Вместо этого в аксиомах формулируются основные свойства этих объектов и отношений и основные связи между ними. Вот как выглядят некоторые из аксиом:

1. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

2. Для двух различных точек не может существовать более одной такой прямой, что обе точки лежат на этой прямой.

3. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки различны.

4. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки лежат на одной прямой.

5. Для любых двух различных точек A и B существует такая точка С, что B лежит между A и C.

Покажем на примере, как на основе аксиом совершаются доказательства. Докажем, опираясь на выписанные пять аксиом, такую теорему: на каждой прямой лежат по меньшей мере три точки.

Вот доказательство. Итак, пусть p – прямая. Надо обнаружить на ней три различные точки. По аксиоме 1 на ней лежат какие-то две различные точки; обозначим их A и B. По аксиоме 5 находим такую точку C, что B лежит между A и C. Согласно аксиоме 3, все они различны, а согласно аксиоме 4, все они лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую буквой q. Точки A и B лежат на прямой p и в то же время лежат на прямой q. Но в силу аксиомы 2 две различные точки не могут лежать на двух различных прямых; следовательно, q совпадает с p. Поскольку через q была обозначена та прямая, на которой лежат все три точки A, B и C, а q совпадает с p, то все эти точки лежат на p. Вот мы и нашли на p три различные точки.

Казалось бы, тем же способом можно далее доказать, что на p лежат четыре точки: надо применить аксиому 5 к точкам B и C и получить такую точку D на той же прямой, что C лежит между B и D. Действительно, все точки B, C и D будут различны; однако ведь может случиться, что точка D совпадает с точкой А, из аксиом не вытекает, что такое невозможно!