Апология математики (сборник статей)

Формула Эйлера и поныне составляет одну из жемчужин математического анализа. В середине XX в. даже выяснилось, что и процитированным «странным» утверждениям Эйлера можно придать точный смысл на основе так называемого нестандартного анализа, но это уже совсем другая история.

Мы видим, таким образом, что само понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено. Для средневековых судов, например, убедительными были весьма своеобразные, с нашей точки зрения, доказательства виновности и невиновности: если человек мог держать в руке раскалённое железо, то он признавался невиновным; если брошенная в воду связанная женщина не тонула, то её объявляли ведьмой. Понятие математического доказательства имеет те же психологические основы, что и понятие доказательства юридического, и потому так же зависимо от исторических обстоятельств.

Для математических текстов средневековой Индии, например, были характерны такие (возможно, восходящие к более древним временам) способы доказывания геометрических утверждений: предлагался чертёж, под которым стояло всего одно слово «Cмотри!». На рис. 4 воспроизведено подобное индийское доказательство формулы, выражающей площадь круга S через длину окружности l и радиус r. Формула эта замечательна тем, что не использует числа π, осознание которого в качестве полноправного числа сталкивается с вполне естественными психологическими трудностями, ведь оно не представимо ни в виде дроби, ни даже в виде выражения с радикалами (т. е. знаками корня), как это имеет место в случае диагонали единичного квадрата. Поэтому данная формула могла быть понятна и в древности. Найти её нетрудно. Поскольку l = 2πr, то в известной формуле площади круга число π можно заменить отношением длины полуокружности к радиусу:

Таким образом, площадь круга равна площади прямоугольника, основанием которого служит отрезок, равный по длине полуокружности этого круга, а высотой – его радиус. Именно это наглядно показывает индийский чертёж, одновременно демонстрируя и доказательство. Сперва круг делится диаметром пополам, а потом каждый полукруг разрезается на большое и одинаковое для каждого полукруга количество равных секторов. Затем каждая из полуокружностей распрямляется, секторы превращаются в треугольники, и возникают две равные фигуры, по форме напоминающие пилу. Наконец, эти «пилы» вставляются друг в друга, так чтобы зубцы одной «пилы» полностью вошли в промежутки между «зубцами» другой. Возникает прямоугольник, равный по площади исходному кругу и имеющий требуемые длины сторон. «Что за чушь?! – скажет педант XXI в. – При распрямлении дуг секторы превратятся бог знает во что и не смогут совпасть с промежутками между "зубцами", да и площади их исказятся. И прямоугольник выйдет кривобокий. Так что никакое это не доказательство». Однако для индийцев это было доказательством. И минувшие века не лишили его убедительности, ведь при разбиении на очень большое количество секторов все справедливо отмеченные педантом искажения будут почти незаметны. Так что при большом желании и готовности потрудиться индийское рассуждение можно облечь в форму, приемлемую сегодня.

Для полноты картины приведём индийское доказательство теоремы Пифагора. Это тоже чертёж со словом «Смотри!». Заметим, что

a² + b² = ab + ab + (а – b)².

Поэтому теорему Пифагора, утверждающую, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливо равенство a² + b² = c², можно доказывать в форме

c² = ab + ab + (a – b)².

Последняя формула и доказывается чертежом, приведенным на рис. 5[142]. Слева на рис. 5 – квадрат с площадью c², составленный из четырёх одинаковых треугольников и квадрата со стороной a − b. Справа – тот же квадрат со стороной a – b, а треугольники уложены так, что образовались два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b. Заметим, что, в отличие от предыдущего, это рассуждение полностью приемлемо и сегодня.