Апология математики (сборник статей)

Наш рис. 5 с подписью «Смотри!» встречается в трудах индийского астронома и математика XII в. Бхáскары. Можно предположить, что он содержался в ещё более ранних индийских текстах. В пользу такого предположения говорит, в частности, то, что левый чертёж с рис. 5 мы находим в китайском трактате, датируемом не позже чем III в. Китайский автор, однако, не довольствуется призывом «Смотри!», а заменяет его алгебраическим пояснением. В упомянутом трактате предлагалось и другое, пожалуй, ещё более простое и наглядное доказательство теоремы Пифагора. Это второе доказательство иллюстрирует рис. 6. Китайский автор и в этом случае сопровождал чертёж необходимым пояснением; мы же на индийский манер ограничимся призывом «Смотри!». Для точности укажем, что китайский чертёж состоял из наложенных друг на друга чертежей, показанных на рис. 5 и 6, давая таким образом одновременно два доказательства теоремы Пифагора.

В древних египетских текстах описываются приёмы оперирования с простыми дробями – не со всеми, а с некоторыми избранными: аликвотными (так принято называть дроби с числителем единица) и дробью 2/3. Встречаются также способы вычисления простейших площадей. Но все они приводятся без какого бы то ни было обоснования. По-видимому, в то время в нём не ощущалось психологической необходимости. Убедительность способа проистекала из того, что он, во-первых, исходил из авторитетного источника (как правило, от жреца) и, во-вторых, был записан. (Не так ли подчас и мы относимся к медицинским предписаниям?) Жившие в советское время помнят, что любое утверждение считалось полностью доказанным, коль скоро его удавалось обнаружить в каком-либо из текстов Маркса или Ленина; в сталинское же время ещё более неоспоримыми были тексты Сталина. (Так что официальная ментальность того времени недалеко ушла от ментальности Древнего Египта.)

Первые математические доказательства в современном их понимании приписывают древнегреческим мыслителям Фалéсу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII–VI вв. до н. э. возник новый, до того не встречавшийся обычай сопровождать математический факт его обоснованием. Появилась потребность не просто сообщать факт, но и убеждать слушателя в его истинности, т. е. проводить доказательство. По-видимому, сама идея необходимости убеждать слушателей появилась в дискуссиях на народных собраниях и в судах. (В этом смысле математика – младшая сестра юриспруденции.)

Древнегреческие доказательства были почти безупречны с современной точки зрения. Положение вещей начало меняться с XVII в., когда в математику вошли переменные величины, а вместе с ними представление о предельном переходе. С сегодняшней точки зрения эти понятия и представления не были достаточно чёткими, а потому и относящиеся к ним доказательства XVII–XVIII вв. кажутся теперь нестрогими, вспомним хотя бы приведённые выше цитаты из книги Эйлера. Замечательно, однако, что эти нестрогие доказательства приводили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал современной математики. Так продолжалось до 20-х гг. XIX в., когда появились работы знаменитого французского математика Луи Огюстена Коши; в его трудах понятие предела и опирающиеся на него понятия впервые стали приобретать ту логическую форму, которую они имеют сегодня. Инициатива Коши была развита затем многими математиками, прежде всего уже во второй половине XIX в. знаменитым немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Но новые представления о необходимом уровне математической строгости входили в математику не сразу, о чём свидетельствует открывающее этот раздел высказывание Пуанкаре. Напрашивается предположение, что представления о строгости будут развиваться и впредь и то, что кажется строгим сегодня, не покажется таковым в будущем.

Уже сейчас видно одно из направлений, по которым может развиваться пересмотр представлений об убедительности математических доказательств. Дело в том, что само понимание того, что такое математическая истина, вызывает серьёзные затруднения. Ведь математические объекты, в отличие от объектов физических, не присутствуют в природе, они существуют лишь в умах людей. Поэтому в применении к математическим истинам говорить, что истина – это то, что соответствует реальному положению вещей, можно лишь с большой натяжкой.

Чтобы закончить этот раздел на оптимистической ноте, подчеркнём, что доказательства, содержащиеся в трудах Евклида и Архимеда, не потеряли своей убедительности за прошедшие тысячи лет.

§ 12. Два аксиоматических метода – неформальный и формальный

Неформальный аксиоматический метод