Апология математики (сборник статей)

Нетрудно придумать алфавит, в котором все эти имена записывались бы в виде слов. Некоторые имена окажутся «пустыми» в том смысле, что не называют никакого числа. Так случится, если уравнение не имеет действительных корней, а также если уравнение имеет, скажем, десять таких корней, а мы включили в имя номер сотого корня. Такие имена мы отбрасываем. У каждого действительного числа окажется много имён, из них мы выбираем то, которое идёт первым в пересчёте всех слов придуманного нами алфавита; остальные имена отбрасываем. Таким образом, множество имён алгебраических чисел окажется подмножеством всех слов в некотором алфавите и, следовательно, счётным. Вместе с ним счётным окажется и множество всех алгебраических чисел. Раз множество всех алгебраических чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно, то непременно бывают действительные числа, не являющиеся алгебраическими, т. е. трансцендентные.

замечание. И в примере 52, где доказывалось существование чисел, не являющихся рациональными, и в последующем доказательстве существования чисел, не являющихся алгебраическими, была использована следующая идея: множество «выделенных» чисел (рациональных, алгебраических) допускает пересчёт (поскольку оно счётно), а множество всех чисел не допускает пересчёта (поскольку оно несчётно); следовательно, существуют числа, не являющиеся «выделенными». Более рафинированный вариант этой идеи таков. Имеется множество и подмножество, оба допускают пересчёт. Среди пересчётов выделяются пересчёты специального вида и доказывается, что подмножество допускает такой пересчёт, а объемлющее множество не допускает. Тем самым обнаруживается, что в множестве существуют элементы, не принадлежащие подмножеству. Именно такой рафинированный вариант используется в одном из доказательств знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. Множество всех истинных утверждений арифметики не допускает вычислимого пересчёта, тогда как множество всех доказуемых утверждений арифметики такой пересчёт допускает. Отсюда следует существование истинных утверждений, не являющихся доказуемыми. Этот способ доказательства теоремы Гёделя предложил великий математик Андрей Николаевич Колмогоров.

§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал в 1908 г.:

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости.

Для иллюстрации приведём рассуждение из книги «Введение в анализ бесконечных». Правда, она была опубликована в 1748 г., т. е. не за 50, а за 160 лет до высказывания Пуанкаре, зато сам пример очень нагляден. В названной книге встречаются такие странные, по нынешним меркам, утверждения: «e^x = (1 + x/i)ⁱ, где i означает бесконечно большое число»; «так как дуга 2kπ/i бесконечно мала, то cos(2k/i) π = 1 – (2k²/i²)π²»; «член x²/i² может быть опущен без опасения, потому что даже после умножения на i он останется бесконечно малым». Скажи студент такое на экзамене в наши дни, он получил бы двойку. Однако автор книги не кто иной, как великий математик Эйлер, а взятые нами в кавычки цитаты составляют часть доказательства одной из знаменитых формул Эйлера, а именно формулы для разложения синуса в бесконечное произведение: