Апология математики (сборник статей)

Потерпев неудачу в попытках определить, что такое натуральное число (или, напротив, преуспев в отнесении этого понятия к категории неопределяемых), обратимся к понятию Натурального Ряда. Натуральный Ряд – с большой, или прописной, буквы – это совокупность всех натуральных чисел. Если мы знаем, что такое натуральное число и понимаем слова «совокупность всех», то мы знаем и что такое Натуральный Ряд. И наоборот, зная Натуральный Ряд, мы легко определим натуральное число как его элемент. Поэтому понятие Натурального Ряда столь же неопределимо, как и понятие натурального числа. (Впрочем, можно считать фразу «Натуральный Ряд есть множество всех натуральных чисел» законным определением понятия Натурального Ряда через первичные неопределимые понятия «натуральное число» и «множество всех».)

«Как же так? – воскликнет читатель. – А аксиомы Пеано? Разве они не определяют Натуральный Ряд?» Конечно, нет, да они на это и не претендуют, если понимать Натуральный Ряд так, как мы его понимаем, т. е. как единственную (!) совокупность некоторых однозначно понимаемых сущностей, называемых натуральными числами. В самом деле, посмотрим, как выглядят аксиомы Пеано. Они гласят: «Ноль есть натуральное число, и ноль не следует ни за каким натуральным числом и т. д.». Таким образом, они опираются на понятия 'ноль' и 'следовать за' (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т. е. что такое 'ноль' и что такое 'следовать за'), а лишь указывают связи между ними. Причём аксиомы сформулированы таким образом, что если ноль этих аксиом – это обычный Ноль[148] Натурального Ряда, а «следование за» означает непосредственное следование одного числа за другим в Натуральном Ряду (так что за Нолём следует Единица, за Единицей – Двойка и т. д.), то все эти связи будут выполнены в Натуральном Ряду. Иными словами, аксиомы Пеано оказываются верными, истинными утверждениями при естественной их интерпретации на Натуральном Ряду. Но они, разумеется, будут верны не только на Натуральном Ряду, но и на всякой структуре, изоморфной[149] Натуральному Ряду. Например, если интерпретировать встречающийся в аксиомах Пеано термин «ноль» как наименьшее простое число, а термин «следовать за» – как переход от одного простого числа к ближайшему за ним следующему, то при такой интерпретации все аксиомы Пеано окажутся верными. Выходит, они, эти аксиомы, не дают даже возможности отличить Натуральный Ряд от совокупности всех простых чисел. Повторяю, они на это и не претендуют. Они претендуют на то, чтобы, как говорят, «определить Натуральный Ряд с точностью до изоморфизма»[150]. Более точно это означает, что аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много математических структур, причём все эти структуры изоморфны Натуральному Ряду и, следовательно, изоморфны между собой. Ещё более точно: аксиомы Пеано определяют весь класс таких структур. Любую такую структуру будем называть натуральным рядом (с маленькой, или строчной, буквы!). Таким образом, Натуральный Ряд есть один из натуральных рядов.

Говоря коротко, изоморфизм двух математических структур – это взаимно однозначное соответствие между совокупностями элементов первой и второй структуры, сохраняющее определённые на этих структурах операции и отношения. В нашем примере изоморфизм между структурой N (Натуральный Ряд с операцией «следовать за») и структурой P (простые числа с операцией «следовать за») задаёт бесконечная таблица

Операция «следовать за» при этом соответствии действительно сохраняется: 6 следует за 5, и одновременно 17 следует за 13, и вообще у следует за x в верхнем ряду тогда и только тогда, когда соответствующие им члены нижнего ряда ру и рх (именно в этом порядке!) следуют один за другим (следуют в смысле, определённом для P).

Иногда говорят, что Натуральный Ряд – это есть ряд

ноль, один, два, три,…, сто двадцать шесть,…

(его членами являются выражения, составленные из русских букв и пробелов между словами); или ряд

0, 1, 2, 3, …, 126, …

(его членами являются выражения, составленные из арабских цифр); или ряд

0, I, II, …, CXXVI, …

(его членами являются выражения, составленные из римских цифр с добавлением придуманного нами символа 0 – «римский ноль»[151]).

Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд (который состоит из абстрактных количественных категорий и не может быть изображён), а есть всего лишь ряд имён, обозначений для его членов, т. е. для натуральных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имён может рассматриваться как один из натуральных рядов с маленькой буквы.