Апология математики (сборник статей)

Можем ли мы, имея в виду поставленную цель, довольствоваться тремя выписанными свойствами – аксиомами? Разумеется, нет. Этим аксиомам удовлетворяют все линейно упорядоченные множества, среди которых много неизоморфных и, следовательно, заведомо неизоморфных Натуральному Ряду N. Например, множество R всех действительных чисел с обычным отношением порядка будет удовлетворять выписанным трём аксиомам. Наблюдая совместно N и R, мы замечаем, что N имеет по крайней мере два свойства, которых нет в R. Вот они.

4. В N есть наименьший элемент. В символах:

5. В N за каждым элементом х непосредственно следует некоторый у. («Непосредственно» – это значит, что между х и у нет третьего элемента.) В символах:

Эти пять аксиом уже значительно сужают круг удовлетворяющих им линейно упорядоченных множеств. Этим аксиомам удовлетворяет Натуральный Ряд, а также, например, такое множество действительных чисел (рассматриваемое с обычным порядком):

Наличие этой, отличной от N, структуры (*), удовлетворяющей аксиомам 1–5, ещё не служит препятствием к тому, чтобы считать эти аксиомы аксиоматическим определением натурального ряда, ведь эта структура изоморфна N (и, таким образом, может признаваться натуральным рядом). Графическое изображение порядка на (*) (и на N) приведено на рис. 1.

Легко заметить, однако, что аксиомам 1–5 удовлетворяет и такая структура (т. е. множество плюс отношение порядка):

Графический образ этой порядковой структуры приведён на рис. 2.

В этой структуре у двух элементов (у 0 и 10) нет непосредственных предшественников. Запретим эту ситуацию следующей аксиомой 6.

6. Если у двух элементов х₁ и х₂ нет непосредственных предшественников, то они равны. В символах:

Аксиома 6 исключает структуру (**), но не исключает такой структуры:

Структура (***), очевидно, не изоморфна натуральному ряду. Её графический образ приведён на рис. 3.

Наша цель, подобно горизонту, отодвигается всё дальше и дальше… Оказывается, она вообще недостижима. Оказывается, имеет место следующий замечательный факт: сколько бы мы ни выписывали аксиом, использующих логические знаки, знак отношения «<» и переменные, пробегающие по элементам определяемой структуры, у совокупности выписанных аксиом всегда будет модель, не изоморфная натуральному ряду. Ввиду фундаментальной важности этого факта (означающего невозможность аксиоматического определения натурального ряда с использованием указанных средств) изложим его подробнее.

Будем записывать аксиомы на формализованном символическом языке, в алфавит которого входят следующие знаки:

1. Знаки препинания: левая скобка «(» и правая скобка «)»;

2. Логические знаки «¬», «∧», «∨», «⇒», «∀», «∃», «=»;

3. Индивидные переменные х, у, z, и, v, w, х₁, y₁, z₁, u₁, v₁, w₁, …;

4. Знак «<».

С помощью этих букв по естественным и легко формулируемым синтаксическим правилам составляются формулы. Простейшие примеры формул:

х < у ∨ у < х; ∀х (х < х);

∃ х ∃у (у < х ⇒ у < х);

∃ у (х < у); ∀ х ∃у (х < у).

Возьмём теперь какое-либо множество с каким-либо определённым на нём бинарным отношением (не обязательно отношением строгого порядка), обозначаемым через «<». Всякое такое множество с отношением «<» будем называть структурой сигнатуры <. Таким образом, структура сигнатуры < состоит из множества (называемого носителем структуры) и отношения «<». Назначим для каждой индивидной переменной носитель структуры в качестве области изменения этой переменной. Тогда каждая формула становится либо высказыванием, как вторая, третья и пятая формула из приведённого только что списка, либо высказывательной формой, как первая и четвёртая формулы. Формулы, превращающиеся в высказывания, называются закрытыми[153], только их мы и будем впредь рассматривать. Про (закрытую) формулу, становящуюся – при рассмотрении на данной структуре – истинным высказыванием, говорят, что она истинна на данной структуре или выполняется на данной структуре, а про структуру – что она удовлетворяет данной формуле.

Среди структур сигнатуры < выделена структура N – наш обычный Натуральный Ряд с обычным отношением порядка. Будем называть аксиомой любую закрытую формулу, превращающуюся в истинное высказывание при интерпретации на структуре N. Так вот, какое бы – конечное или бесконечное – количество аксиом мы ни выписывали, всегда найдётся такая структура сигнатуры <, которая, во-первых, удовлетворяет всем выписанным аксиомам и, во-вторых, не изоморфна N.

Получается, таким образом, что натуральный ряд нельзя определить аксиоматически: ведь определить N аксиоматически – это значит записать такую систему аксиом, которая определяла бы N с точностью до изоморфизма (это, в свою очередь, значит, что любые две структуры, удовлетворяющие всем выписанным аксиомам, изоморфны).