Апология математики (сборник статей)

«Позвольте, – снова возразит читатель, – но аксиомы Пеано ведь определяют Натуральный Ряд как раз с точностью до изоморфизма. Система аксиом Пеано категорична, а это как раз и означает, что все её модели[154] изоморфны». Немножко терпения, разберёмся и с аксиомами Пеано.

А сейчас обсудим вот какой вопрос. На Натуральном Ряде определено не только отношение порядка «<», но и бесчисленное множество других отношений и операций. Среди них двуместное (или бинарное) отношение делимости двух чисел; трёхместное (или тернарное) отношение «х + у = z»; одноместное (или сингулярное, singulary[155]) отношение «быть простым числом» (напомним, что свойства мы трактуем как одноместные отношения); двуместная операция сложения; двуместная операция умножения; двуместная операция возведения в степень (причём 0⁰ = 1); одноместная операция непосредственного следования (мы будем, как это часто делается, обозначать её штрихом, так что, например, 0' = 1; 13' = 14); константы 0, 1, 2, 3, 4, … (напомним, что константы мы трактуем как нольместные операции); четырёхместная операция [log_u+2 z! + y^x·z+u] (здесь, как обычно, через [a] обозначается целая часть числа a); и многие другие. Мы привели лишь несколько примеров, а всего на N определено несчётное количество операций и отношений. Для того чтобы определить понятие структуры, изоморфной N, мы сперва должны из этого количества выделить некоторые (теоретически возможно – все) операции и отношения и рассмотреть изоморфизм относительно именно этих выделенных операций и отношений. На самом деле поэтому не существует понятия натурального ряда просто, а только понятие натурального ряда относительно данного списка операций и отношений. Выше мы рассматривали понятие натурального ряда относительно списка, в котором операций не было вовсе, а отношение одно – отношение «быть меньше».

Выделенные на множестве операции и отношения, а также выделенные элементы множества (таковых у нас пока не было) называют в контексте наших рассмотрений сигнатурными, а список таких операций и отношений – сигнатурой. Точнее, сигнатурой называют список не самих выделенных элементов, операций и отношений, а список их имён, но для наших целей это различие (само по себе очень важное) не слишком существенно, и нам проще его не замечать.

Множество с выделенными операциями и отношениями, образующими список σ, называется (математической) структурой сигнатуры σ. Теперь мы можем сказать, что всякий натуральный ряд является структурой той или иной сигнатуры σ. Поэтому следует говорить не о натуральном ряде вообще, а о натуральном ряде сигнатуры σ. До сих пор мы рассматривали случай, когда

σ = {<}.

Может быть, причина нашего неуспеха в попытке определить аксиоматически натуральный ряд вызвана именно бедностью сигнатуры? Давайте расширять сигнатуру и наблюдать, чтó при этом будет происходить.

Сперва добавим в сигнатуру константу «0» (для обозначения наименьшего, относительно порядка «<», элемента) и штрих «'» для обозначения операции непосредственного следования. На Натуральном Ряде N эти объекты подчинены аксиомам (свойствам) 7 и 8 (сравните свойства 4 и 5, которые вытекают из свойств 7 и 8).

7. ∀y (0 = у ∨ 0 < у).

8. ∀x (x < x' ¬ ∃ z (x < z ∧ z < x')).

Всякий натуральный ряд с сигнатурой {0, ', <} изоморфен, по определению, Натуральному Ряду N, причём изоморфизм рассматривается относительно {0, ', <}. Поэтому всякий такой натуральный ряд состоит из элементов 0, 0', …, упорядоченных следующим образом: 0 < 0' < 0'' < 0''' <…