Апология математики (сборник статей)

Возникает следующий естественный вопрос: а почему проведённое рассуждение нельзя повторить для континуум-гипотезы, о которой шла речь в конце нашего предыдущего, четвёртого, размышления? В самом деле, гипотеза (теорема) Ферма утверждает, что нет четвёрок Ферма, а континуум-гипотеза – что нет множеств мощности, промежуточной между и Давайте заменим четвёрку Ферма на множество промежуточной мощности, теорему Ферма – на континуум-гипотезу и повторим только что проведённое рассуждение. Мы должны, обязаны где-то споткнуться, ведь утверждения (а') и (б'), получаемые из (а) и (б) заменой слов «теорема Ферма» на слово «континуум-гипотеза», оба верны. Где же мы споткнёмся? А вот где: в доказательстве леммы 1 (разумеется, не в первоначальной формулировке, а в той, где слова «четвёрки Ферма» заменены словами «множества промежуточной мощности»). Приведённое выше доказательство леммы 1 основывалось на следующей идее: можно фактически предъявить четвёрку чисел а, b, с, d и удостовериться, что она образует четвёрку Ферма. Но что значит «предъявить множество»? Могут возразить, что и мы, собственно, предъявляем не числа как количественные категории – их предъявить невозможно, можно только написать их имена (например, в виде ноля со штрихами или в виде десятичной записи). Но дело в том, что каждое натуральное число имеет имя, чего нельзя сказать о множествах: множеств больше, чем имён

(если понимать последние как конечные комбинации знаков какого-нибудь алфавита). Но даже если ограничиться множествами, имеющими имена, и предъявлять вместо множеств эти имена, всё равно остаётся главная трудность: как проверить, что предъявленное множество имеет промежуточную мощность? Проверить, что четвёрка чисел есть четвёрка Ферма, в принципе (если отвлечься от количества шагов и необходимого пространства), несложно: надо подставить числа в уравнение и сравнить левую и правую части. Способа же, который позволил бы по предъявленному множеству определить его мощность или хотя бы определить, будет ли эта мощность удовлетворять неравенству не существует.

замечание.

Можно указать на ещё одно философское различие между ситуацией с теоремой Ферма и ситуацией с континуум-гипотезой. Обсуждая вопрос о возможных доказательствах теоремы Ферма или её возможных опровержениях (т. е. доказательствах её отрицания), мы исходили из понятия доказательства в общем, неформальном смысле; об этом понятии – наше шестое размышление. Упоминавшиеся же открытия Гёделя, установившего, что континуум-гипотезу нельзя опровергнуть, и Коэна, установившего, что континуум-гипотезу нельзя доказать, утверждают невозможность формальных доказательств в рамках некоторого ранее известного конкретного представления о формальном доказательстве – более точно, в рамках некоторой конкретной аксиоматики теории множеств, а именно так называемой системы Цермело – Френкеля. Однако считается (мнение это представляет собой не что иное, как акт веры), что система Цермело – Френкеля позволяет формализовать любое неформальное математическое доказательство. Это и даёт право говорить, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть какими бы то ни было средствами, допускаемыми современной математикой.

Обсуждаемая тема имеет самое тесное отношение к знаменитой теореме Гёделя о неполноте. Теорема эта утверждает, что, какое бы ни было предложено понятие формального доказательства, имеется такое утверждение о натуральных числах, что ни оно само, ни его отрицание не обладает формальным доказательством в рамках предложенного понятия.

Мы исходим из очевидности того, что возможны различные определения формального доказательства. Эти определения отличаются друг от друга набором допускаемых аксиом и правил вывода. Могут быть такие представления о формальном доказательстве, в котором вообще не используются ни аксиомы, ни правила вывода. Короче говоря, подходы к понятию формального доказательства могут быть весьма различны. Но все эти подходы имеют и фундаментальную общность, выражаемую в следующих принципах:

1. Каждое формальное доказательство есть текст, т. е. конечная цепочка знаков, выбранных из некоторого алфавита;

2. Каждый текст, составленный из букв рассматриваемого алфавита, поддается алгоритмической проверке на предмет того, является ли он формальным доказательством или нет, и если да, то какого именно утверждения;

3. Только истинные утверждения могут обладать формальными доказательствами.