Апология математики (сборник статей)

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Ферма существуют, то их не существует.

Замечание. Пусть А – какое-либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что А верно, то А неверно. Однако – и в этом содержание леммы – это так, коль скоро А есть утверждение «четвёрки Ферма существуют».

Доказательство. Поведём доказательство от противного. В самом деле, предположим, что четвёрки Ферма существуют. Выпишем какую-либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел a, b, с, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т. е. проверим, выполняются ли неравенства a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 и равенство b^а + с^а = d^а. Предъявление четвёрки a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 вкупе с указанной проверкой образует доказательство существования четвёрки Ферма. Разумеется, если четвёрка состоит из гигантских чисел, то время, потребное на проверку, может превосходить длительность жизни человека, а то и всего человечества (а объём вычислений – размеры видимой Вселенной). Однако мы от этого отвлекаемся и считаем, что даже и в этом случае проверка того, что предъявленная четвёрка является четвёркой Ферма, возможна в принципе. Философ скажет, что здесь мы используем так называемую абстракцию потенциальной осуществимости, как раз и состоящую в отвлечении от ограниченности наших реальных возможностей в пространстве и времени.

Лемма 2. Если нельзя опровергнуть теорему Ферма, то теорема Ферма верна.

Замечание. Не видно причин, почему это должно быть верно для любой теоремы.

Доказательство. Лемма 2 есть просто переформулированная лемма 1. Ведь «опровергнуть теорему Ферма» – значит «доказать, что четвёрки Ферма существуют», а «теорема Ферма верна» – значит «четвёрки Ферма не существуют».

Лемма 2, которую мы доказали, имеет строение «если Р, то Q». Поэтому если Р имеет доказательство, то и Q имеет доказательство (доказательство Q состоит в сочетании доказательства леммы с доказательством Р). Поэтому имеем сформулированное ниже следствие леммы 2.

Следствие леммы 2. Если существует доказательство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует и доказательство того, что теорема Ферма верна, т. е. попросту доказательство теоремы Ферма.

Ввиду важности этого следствия ещё раз сформулируем его: если существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть, то теорему Ферма можно доказать. Итак, если верно (б), то теорему Ферма можно доказать, что и представляет собою обещанное отрицание утверждения (a₁).

Полученное противоречие и завершает наше рассуждение о том, что (a₁) и (б), а тем более (а) и (б), несовместимы.