Апология математики (сборник статей)

Изучение трудных математических доказательств можно сравнить с альпинистским восхождением на вершину. Уровень моря соответствует начальным понятиям. Восхождение от уровня моря может занимать месяцы, а его математический аналог (понимание доказательства) – годы. В обоих случаях много промежуточных остановок. Первая – общий высокогорный лагерь, в котором собираются альпинисты, направляющиеся на различные окрестные вершины. Этому этапу соответствует получение серьёзной математической подготовки, достаточной для овладения более специальными темами. Затем начинается движение к избранной вершине, опять-таки с остановками в промежуточных лагерях. Для математика роль этих лагерей и остановок играют соответственно теории и теоремы. Как альпинист может совершить за свою жизнь ограниченное число восхождений, так и математик узнаёт ограниченное число доказательств.

Следующая общая для альпинизма и математики черта является существенной – это известная условность в выборе точки отсчёта. Собственно восхождение начинается не с уровня моря, а с точки, куда профессиональные альпинисты могут добраться как бы без труда, хотя для обычных людей попадание в эту точку может представить весьма большие трудности. Собственно доказательство начинается с аналогичной точки: эта точка расположена на некоем общекультурном (имеется в виду математическая культура) уровне. Впрочем, при современном состоянии математики область, очерчиваемая в сложных словах частью «обще-», постоянно уменьшается, и ныне многие доказательства начинаются с точки, доступной лишь узким специалистам. Ещё одна общая черта математики и альпинизма – расчленённость на этапы, наличие достаточного числа промежуточных остановок.

Откуда же у математика берётся убеждение, что доказанные теоремы, доказательства которых он так никогда и не узнáет, действительно являются доказанными, т. е. располагают доказательствами? Видимо, такое убеждение основано не на чём ином, как на доверии. Это положение внешне не должно казаться слишком странным. В самом деле, многие ли читатели этих строк видели остров Пасхи? Ведь убеждение не видевших остров в том, что он существует, также основано в конечном счёте на доверии. Но если современное доказательство основано на доверии к авторитету, то в чём же его принципиальное отличие от древнеегипетского?

Ответ на этот непростой вопрос заключается, возможно, в том, что доказательства постепенно переходят из разряда явлений индивидуального опыта в разряд явлений опыта коллективного. Тенденция к выдвижению на первый план коллективного вообще характерна для истории цивилизации. Хорошо известно (и подробно обсуждено), что с развитием человеческого общества возникают и неуклонно усиливаются разделение и кооперация труда. Лишь в глубокой древности человек мог сам, лично производить всё необходимое для себя; сейчас каждый вынужден пользоваться результатами труда других. Известно (хотя и не столь подробно обсуждено), что одновременно происходят разделение и кооперация научных знаний. Трудно сказать, когда – по-видимому, в Средние века – ещё находились отдельные учёные, способные охватить всю доступную их современникам сумму знаний. Сейчас каждый вынужден так или иначе использовать знания других. Аналогично обстоит дело и с доказательствами: деятельность в сфере производства и потребления доказательств стала в такой же степени объектом разделения и кооперации, как и деятельность в сфере производства и потребления знаний. Само понятие убедительности начинает терять свой индивидуализированный оттенок и всё больше приобретает коллективный характер. По-видимому, следует постепенно приучаться говорить об убедительности не для отдельного индивидуума, а для некоторого научного коллектива. При этом коллективная убедительность отнюдь не означает равную «непосредственную убедительность» для каждого в отдельности члена коллектива. Коллектив выступает не как простая сумма членов, а как единое целое. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части доказательства найдётся свой «отвечающий за неё» член коллектива, для которого непосредственно убедительна именно эта часть (а другие члены коллектива полагаются в данном вопросе на этого члена).

Век информатики вносит свои коррективы и в представления о доказательствах. Возникают, например, случаи, когда доказательство требует перебора столь большого числа вариантов, что этот перебор делается недоступным человеку, а машине доступен. Допустим, машина перебрала все требуемые варианты и перебор привёл к нужным результатам. Можем ли мы считать, что получили доказательство? А что если машина дала так называемый сбой? (Но ведь и человек может ошибаться!) Кроме того, необходима гарантия, что сама программа (работы машины) составлена правильно; правильность программы требует особого доказательства, и теория таких доказательств образует специальный раздел теоретического программирования.