Апология математики (сборник статей)

Автор отдаёт себе отчёт в том, что его мнение по поводу индийских доказательств расходится с мнением такого авторитета в области истории математики, как А. П. Юшкевич, который пишет [9, с. 155]: «Лаконичность выводов в индийских сочинениях по математике или наличие в последних чертежей с одной лишь припиской "Смотри!" не следует рассматривать как проявление особого подхода к проблеме доказательства или особого хода мышления». На наш взгляд, как раз следует. Почему же в противном случае такого рода «Смотри!» мы не встречаем нигде, кроме Индии?

На рис. 6 приведён ещё один чертёж с подписью «Смотри!». Он относится к XII в. и представляет собой доказательство теоремы Пифагора, опирающееся на формулу квадрата разности двух чисел.

Ценные соображения об эволюции понятия математического доказательства высказывает С. С. Демидов, который, в частности, указывает, «что доказательность математических рассуждений также в конечном итоге есть их убедительность. То, что нам казалось убедительным вчера, уже не кажется таким сегодня» [15].

Определение доказательств как убеждающего текста делает понятие доказательства довольно-таки субъективным (для кого текст убеждающий, а для кого нет). Нам это не представляется недостатком определения. Такова суть вещей. Употреблённое выше слово «делает», пожалуй, неудачно. Наше определение не столько делает

понятие доказательства субъективным, сколько отражает субъективный характер этого понятия. Тем интереснее уяснить задачу, от решения которой мы весьма далеки: почему же всё-таки понятие доказательства носит характер общекультурный в том смысле, что в пределах одной и той же культуры споры о том, доказано или нет то или иное утверждение, хотя и возникают, но сравнительно редко?

Говоря о таких спорах, мы не имеем в виду несогласия между представителями разных логических направлений в математике: например, между представителями обычной (классической) и интуиционистской (конструктивистской) математики. Последние не признают доказанными (а, напротив, считают неверными) многие утверждения обычной математики. Можно считать, что интуиционисты (конструктивисты) принадлежат к другой математической культуре и даже самые привычные слова (такие, скажем, как «существует») наполняют другим смыслом [разумеется, интуиционисты (конструктивисты) считают, что это представители традиционной математики наполняют слова другим смыслом, а они, интуиционисты, как раз и употребляют эти слова в единственно правильном смысле]. Поэтому интуиционисты считают неверными многие доказательства традиционной математики.

Мы говорим здесь о другом – не об изменении семантики терминов, ведущем к изменению оценки истинности утверждений, а о том, что доказательство может оказаться непонятным и потому неубедительным (а раз неубедительным, значит, вообще не доказательством). Современная математика имеет сложное строение, постепенно становящееся необозримым. Доказательства некоторых теорем оказываются столь громоздкими, что проверка их требует чрезвычайно большого желания, терпения и времени. О владении специальными знаниями нечего и говорить: не только придумывание, но и проверка доказательств ряда теорем доступна лишь узкому кругу посвящённых. Именно так обстоит дело, например, с предложенным Уайлсом доказательством Великой теоремы Ферма.

Иногда интересуются объёмом доказательства той или иной теоремы. При этом обычно имеют в виду, что в доказательстве разрешается использовать в виде готовых формулировок, уже не требующих доказательств, теоремы, полученные ранее. Будет ли такое рассуждение доказательством, т. е. убеждающим текстом, для того, кто не знаком с доказательствами этих установленных ранее теорем? Мы не берёмся дать однозначный ответ на этот вопрос. Заметим ещё, что само слово «ранее» вносит дополнительный субъективный «релятивистский» момент (хронологическая последовательность двух почти одновременно доказанных теорем может по-разному определяться разными наблюдателями). Если же запретить ссылаться в доказательстве на какие бы то ни было ранее доказанные теоремы и восходить непосредственно к определениям и первичным, неопределяемым понятиям (о которых мы рассуждали в нашем первом размышлении), то такое полное доказательство может в ряде случаев простираться на тысячи страниц математического текста (и быть затруднительным для восприятия даже ещё более, чем доказательство, опирающееся на факты, хотя бы и неизвестные читателю, но ясно сформулированные).