Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

В 2006 году Дойфлхард, Вайзер и Захов проверили прогнозы своей модели для примерно тридцати клинических случаев и пришли к выводу, что она работает замечательно. В качестве одной из мер ее успешности было правильно предсказанное – с точностью до миллиметра – положение 70 % поверхности кожи на лице пациента. Только для 5–10 % поверхности отклонение от прогноза составляло более трех миллиметров. Другими словами, модели можно было доверять. И это, конечно, гораздо лучше, чем действовать наугад. Вот пример с одним пациентом до и после операции. На четырех иллюстрациях показан его профиль до операции (крайний рисунок слева), компьютерная модель лица в этот момент (второй рисунок слева), спрогнозированный результат операции (второй рисунок справа) и фактический результат (крайний рисунок справа).

Посмотрите на положение его челюсти до и после операции. Результаты говорят сами за себя.

Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)

К загадке движения

Я пишу эти строки на следующий день после метели. Вчера было 14 марта, День числа π[87], и у нас навалило тридцать сантиметров снега. Сегодня утром, четвертый раз расчищая подъездную дорожку, я с завистью наблюдал, как небольшой трактор с роторным снегометом легко прокладывал по улице путь. С помощью вращающегося винта он забирал снег, а потом выбрасывал его во двор моего соседа.

Подобное использование вращающегося винта для перемещения чего-либо также восходит к Архимеду, по крайней мере согласно традиции. В его честь мы называем такой механизм архимедов винт[88]. Говорят, что ученый придумал его во время поездки в Египет (хотя, возможно, ассирийцы использовали его намного раньше) для подъема воды в ирригационные каналы. Сегодня в механических устройствах для поддержания работы сердца применяют насосы, использующие архимедов винт: они поддерживают циркуляцию крови при повреждениях левого желудочка.

Однако очевидно, что Архимед не хотел, чтобы его помнили за винты, военные машины или любые другие практические изобретения: он не оставил нам о них никаких записей. Больше всего он гордился своими математическими открытиями, что также заставляет меня задуматься, о каком его наследии уместно поразмышлять в День числа π. За двадцать два столетия, прошедших с тех пор, как Архимед нашел границы числа π, новые приближения появлялись много раз, но при этом всегда использовались математические методы, введенные Архимедом: приближения многоугольниками или бесконечные ряды. В более широком смысле его наследие – первое принципиальное использование бесконечных процессов для определения количественных характеристик криволинейных форм. В этом ему не было равных ни тогда, ни сейчас.

Однако геометрия криволинейных форм имеет свои пределы. Нам нужно также знать, как в этом мире происходит движение – как смещаются ткани после операции, как кровь течет по артериям, как мяч летит по воздуху. Об этом Архимед промолчал[89]

. Он дал нам знания по статике, о телах, уравновешенных на рычаге и устойчиво плавающих в воде. Он был мастером равновесия. Территория впереди таила в себе загадки движения.

Глава 3. Открытие законов движения

Когда Архимед умер, вместе с ним практически умерло и математическое изучение природы. Прошло полторы тысячи лет, прежде чем появился новый Архимед. В Италии эпохи Возрождения молодой ученый по имени Галилео Галилей начал с того места, на котором остановился великий грек. Он наблюдал, как двигаются предметы, когда летят по воздуху или падают на землю, и искал в их движении числовые закономерности. Он проводил тщательные эксперименты и анализировал их. Измерял время колебания маятников и спуска шариков по наклонным поверхностям и находил удивительные правила для обоих случаев. А тем временем молодой немецкий математик Иоганн Кеплер изучал движение планет. Оба ученых были очарованы обнаруженными в своих работах закономерностями и ощущали присутствие чего-то гораздо более глубокого. Они знали, что натолкнулись на нечто важное, но не могли понять его значения. Открытые ими законы движения были написаны на незнакомом языке, коим и было дифференциальное исчисление. Это были первые намеки на него, сделанные человечеству.