Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Вот график числа калорий, которые я получаю вместе с одним, двумя или тремя ломтиками хлеба.

Поскольку в каждом кусочке 200 калорий, то в двух кусках их будет 400, а в трех – 600. Если нанести эти три точки на график, все они окажутся на прямой линии, то есть у нас получается линейная зависимость между числом съеденных кусков и количеством калорий. Если мы обозначим буквой x число кусков, а буквой y – число употребленных калорий, то линейную зависимость можно записать в виде y = 200x

. Эту формулу можно использовать для любого количества хлеба. Например, полтора ломтика дадут 300 калорий, и соответствующая точка будет лежать на той же построенной прямой. Поэтому имеет смысл соединять все точки на таких графиках.

Я понимаю, что все это может показаться очевидным, но тем не менее хотел подчеркнуть, что в прошлом это было очевидно не всегда – ведь кто-то же должен был придумать изображать зависимость на такой абстрактной диаграмме. Это не всегда очевидно и сегодня, по крайней мере для детей при их первом знакомстве с подобными графиками.

Здесь есть определенный творческий подход. Прежде всего представление употребления пищи в виде картинки. Это требует гибкости ума. В калориях нет ничего графического. На графике нет реалистичного изображения изюминок и завитков корицы, вложенных в хлеб. Наш график – абстракция, но он дает возможность взаимодействовать различным областям математики: области чисел, таких как число калорий и ломтиков хлеба, области отношений вроде y = 200x и области форм, где есть две перпендикулярные оси, а точки лежат на прямой линии. Благодаря этому слиянию идей скромная диаграмма сочетает числа, зависимости и формы, позволяя объединять арифметику, алгебру и геометрию. Различные ветви математики столетиями работали по отдельности, а теперь слились воедино. (Вспомните, что древние греки ставили геометрию выше арифметики и алгебры и не позволяли им смешиваться, по крайней мере не часто.)

Еще одно слияние относится к горизонтальной и вертикальной осям. Их часто называют осью x и осью y – по переменным, которыми мы их обычно обозначаем. Эти оси – числовые прямые. Подумайте об этом термине: числовые прямые. Числа представлены в виде точек

на какой-то прямой. Арифметика соединена с геометрией, причем еще до того, как мы наносим какие-то данные!

Древние греки просто бы истошно орали при таком нарушении протокола. Для них числа означали исключительно дискретные количества, например целые числа и дроби. Напротив, непрерывные количества, такие как длина какой-нибудь линии, считались величинами – принципиально другими сущностями, отличными от чисел. Таким образом, почти два тысячелетия от Архимеда до начала XVII века числа не рассматривались как эквивалент континуума точек на прямой. В этом смысле идея числовой прямой была радикальным нарушением. Сегодня мы даже не задумываемся об этом и ждем, что ученики начальной школы поймут, что числа могут быть наглядно представлены таким образом.

С точки зрения древних греков здесь имеется еще одно богохульство – график полностью пренебрегает сравнением подобного с подобным, скажем яблок с яблоками или калорий с калориями. Вместо этого он показывает ломтики хлеба на одной оси и калории на другой. Их нельзя сравнивать напрямую, и тем не менее мы, не моргнув глазом, делаем это с помощью графиков. Мы просто преобразуем калории и ломтики в числа, означающие действительные числа, бесконечные десятичные дроби, универсальную валюту современной математики. Греки проводили четкие различия между длинами, площадями и объемами, но для нас это просто действительные числа.

Уравнения как кривые

Безусловно, Ферма и Декарт никогда не использовали координатную плоскость для изучения таких осязаемых вещей, как хлеб с корицей и изюмом. Для них она была инструментом изучения чистой геометрии.