Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Но, как ни странно, история разворачивалась в обратном порядке. В работах Архимеда примерно в 250 году до нашей эры интегралы уже использовались фактически вовсю, в то время как производных никто не видел до 1600-х. Почему дифференциальное исчисление – более простая сторона предмета – появилось настолько позже интегрального? Причина в том, что оно выросло из алгебры, а алгебре потребовались столетия, чтобы вызреть, мигрировать и видоизмениться. В своей исходной форме в Китае, Индии и исламском мире[144] алгебра была полностью вербальной. Неизвестные были словами, а не нынешними

x и y. Уравнения – длинными предложениями, а задачи – целыми абзацами. Однако после того как около 1200 года алгебра появилась в Европе, она превратилась в искусство символов. Это сделало ее более абстрактной… и более мощной. Эта новая порода, символьная алгебра, затем соединилась с геометрией и породила еще более крепкий гибрид – аналитическую геометрию, которая, в свою очередь, породила целый зоопарк кривых, изучение которых и привело к дифференциальному исчислению. В данной главе мы рассмотрим, как это происходило.

Расцвет алгебры на Востоке

Упоминание Китая, Индии и исламского мира должно изменить впечатление, возможно, сложившееся к этому моменту, что создание анализа было делом европейцев. Хотя анализ действительно расцвел в Европе, его истоки лежат в другом месте. В частности, алгебра пришла из Азии и Ближнего Востока. Это слово происходит от арабского «аль-джебр», что означает «восполнение», или «восстановление». Подразумевается операция, применяемая при решении уравнений, когда число переносится из одной части в другую, меняя знак – становясь из отрицательного положительным («восстанавливаясь»)[145]. Точно так же и геометрия, как мы видели, зародилась в Египте; считается, что отец греческой геометрии Фалес изучал ее именно там. И великая теорема Пифагора придумана не Пифагором: она была известна вавилонянам как минимум за тысячу лет до него, как свидетельствуют глиняные таблички из Междуречья, датируемые примерно 1800 годом до нашей эры. Нужно также иметь в виду, что, говоря о Древней Греции, мы подразумеваем огромную территорию, которая простиралась далеко за пределы Афин и Спарты. Она доходила до Египта на юге, до Италии и Сицилии на западе, включала средиземноморский берег Малой Азии, Ближний Восток, части Центральной Азии, Пакистана и Индии. Сам Пифагор был родом с острова Самос, расположенного у западного побережья Малой Азии (современная Турция). Архимед жил в Сиракузах – городе на юго-восточном побережье Сицилии. Евклид работал в Александрии – крупном портовом и научном центре в устье Нила в Египте.

После того как римляне завоевали греков, а особенно после сожжения Александрийской библиотеки и падения Западной Римской империи центр математики снова переместился на Восток. Сочинения Архимеда и Евклида перевели на арабский – равно как и труды Птолемея, Аристотеля и Платона. Ученые и писцы Константинополя и Багдада сохранили старые знания и добавили собственные идеи.

Как алгебра расцветала, а геометрия увядала

За столетия до появления алгебры геометрия существенно замедлила свое развитие. После смерти Архимеда в 212 году до нашей эры казалось, что никто не сравнится с ним на этом поле. Ну, почти никто. Около 250 года нашей эры китайский геометр Лю Хуэй усовершенствовал метод Архимеда для вычисления числа π[146]. Спустя два столетия Цзу Чунчжи использовал метод Ли Хуэя для многоугольника с 24 576 сторонами. Совершив по тем временам героические вычислительные подвиги, он сузил границы для π до восьми цифр:

3,1415926 < π < 3,1415927.

Следующий шаг потребовал еще пяти столетий и был сделан арабским мудрецом Абу Али аль-Хасаном ибн аль-Хайсамом[147], известным на Западе как Альхазен. Он родился в Басре (Ирак) примерно в 965 году и работал в Каире во время золотого века ислама[148], занимаясь всем – от теологии и философии до астрономии и медицины. В своих работах по геометрии Ибн аль-Хайсам вычислял объемы тел, которые Архимед никогда не рассматривал. Но какими бы впечатляющими ни были эти достижения, они были редкими признаками жизни для геометрии, да и ушло на них двенадцать столетий.