Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Кеплер же был скорее наследником Пифагора. Обладая неистовым воображением и нумерологическим складом ума, он повсюду видел закономерности. Он первым объяснил, почему снежинки имеют форму шестиугольника. Он размышлял о наиболее эффективном способе укладки пушечных ядер и предположил (правильно), что оптимальная упаковка такая же, как природа использует для упаковки зерен граната, а бакалейщики – для укладки апельсинов. Одержимость Кеплера геометрией – небесной и земной – граничила с иррациональностью. Но этот пыл сделал его тем, кем он был. Писатель Артур Кестлер проницательно заметил: «Иоганн Кеплер был восхищен пифагорейской мечтой, и на этом фундаменте из фантазии с помощью таких же ненадежных рассуждений он построил прочное здание современной астрономии. Это один из самых впечатляющих эпизодов в истории мысли и противоядие от добродетельной веры, что прогрессом науки управляет логика»[143].

Грозовые тучи сгущаются

Как и все великие открытия, законы движения планет в небесах Кеплера и законы движения падающих тел на Земле Галилея вызвали больше вопросов, чем дали ответов. С научной точки зрения естественно было спросить о первопричинах. Откуда взялись эти законы? Лежала ли в их основе какая-то еще более глубокая истина? Например, казалось явно не случайным, что Солнце занимает такое особое место во всех планетных эллипсах – в одном из фокусов. Означает ли это, что Солнце каким-то образом влияет на планеты? Воздействует ли оно на них какой-то оккультной силой? Именно так думал Кеплер. Он задавался вопросом, не могут ли влиять на планеты какие-то магнитные явления, которые недавно изучал английский ученый Уильям Гильберт. Что бы это ни было, казалось, какая-то неведомая невидимая сила действовала на огромных расстояниях через пустоту пространства.

Работы Кеплера и Галилея поднимали и математические проблемы. В частности, кривые снова оказались в центре внимания. Галилей показал, что траектория брошенного тела – парабола, а круги Аристотеля уступили место эллипсам Кеплера. Другие научные и технологические достижения начала 1600-х только повысили интерес к кривым. В оптике форма изогнутой линзы определяет, насколько изображение увеличено, растянуто или размыто. Эти соображения крайне важны при конструировании телескопов и микроскопов – новейших приборов, которые революционизировали астрономию и биологию соответственно. Французский ученый Рене Декарт задался вопросом, можно ли сделать линзу с совершенно резким изображением. Вопрос сводился к следующей задаче: какую форму должна иметь линза, чтобы все лучи света, исходящие из одной точки или идущие параллельно друг другу, гарантированно сходились бы в другой точке после прохождения через стекло?

Кривые, в свою очередь, поднимали вопросы о движении. Второй закон Кеплера подразумевал, что планеты двигаются по своим эллипсам неравномерно – то ускоряясь, то замедляясь. Точно так же брошенные снаряды Галилея двигались с переменной скоростью по своим параболическим дугам. Они замедлялись при подъеме, замирали в верхней точке, а затем падали обратно на землю. То же самое было справедливо и для маятников. Они замедлялись по мере приближения к концу дуги и ускорялись по мере стремления к нижней точке, а затем снова снижали скорость у другого конца траектории. Как можно количественно характеризовать движение, у которого скорость каждый миг меняется?

И вот среди этого водоворота вопросов появился новый путь для европейских математиков: приток идей от исламских и индийских математиков предоставил им реальный шанс выйти за рамки методов Архимеда и открыть новые горизонты. Идеи с Востока обеспечили новые подходы к кривым и движению, а затем – внезапно – к дифференциальному исчислению.

Глава 4. Зарождение дифференциального исчисления

С современной точки зрения у анализа есть две стороны. Дифференциальное исчисление разбивает сложные задачи на бесконечное число более простых частей, а интегральное исчисление складывает их обратно, чтобы решить исходную задачу.

Если учесть, что разбиение естественным образом идет до обратного воссоздания, то новичкам кажется разумнее начинать с дифференциального исчисления. И действительно, именно так сегодня начинаются все курсы анализа. Они начинаются с производных – относительно простых методов нарезания и измельчения, а затем уже переходят к интегралам – гораздо более сложным методам сборки частей в единое целое. Студенты считают такой порядок изучения анализа более удобным, потому что сначала идет более легкий материал. Преподавателям он нравится, потому что при этом предмет кажется более логичным.