Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Рассмотрим показательную функцию 10^x и применим ее к какому-нибудь числу, например 3. В результате получим 1000. Чтобы отменить это действие, нажмем кнопку lgx. Применив ее к числу 1000, мы вернемся к исходному числу 3. Функция lgx – логарифм по основанию 10 – отменяет действие функции 10^x. В этом смысле указанные функции являются обратными одна другой.

Кроме выполнения роли обратной к показательной функции, логарифмы также описывают многие природные явления. Например, наше восприятие высоты тона примерно логарифмическое. Когда высота тона поднимается на последовательные октавы, от одной ноты до до следующей, такое повышение соответствует последовательным удвоениям частоты соответствующих звуковых волн. Хотя при каждом повышении на октаву волны колеблются вдвое быстрее, мы слышим эти удвоения – которые представляют собой мультипликативные

изменения частоты – как равные повышения в тоне, то есть равные аддитивные шаги. Поразительно! Наш мозг дурачит нас, заставляя считать, что 1 так же отстоит от 2, как 2 от 4, 4 от 8 и так далее. Каким-то образом мы ощущаем частоту (впрочем, как и громкость) логарифмически.

Натуральный логарифм и его показательная функция

Каким бы полезным ни было основание 10 в пору своего расцвета, в современном анализе оно редко используется, уступив место другому основанию, которое хоть и выглядит заумно, но оказывается куда более естественным, нежели 10. Оно называется числом e и примерно равно 2,718 (чуть позже я объясню, откуда оно берется), однако его численное значение неважно. Важно то, что показательная функция с этим основанием растет со скоростью, равной самой этой показательной функции.

Позвольте повторить это еще раз.

Скорость роста функции e^x

в точности равна e^x.

Это чудесное свойство упрощает все вычисления с показательными функциями, если они выражены по основанию e. Ни одно другое основание не может похвалиться такой простотой. Работаем ли мы с производными, интегралами, дифференциальными уравнениями или другими инструментами анализа, показательные функции с основанием e всегда самые удобные, самые элегантные и самые красивые.

Помимо роли в упрощении анализа, основание e естественным образом возникает в сфере финансов и банковском деле. Следующий пример показывает, как оно появляется и как определяется.

Представьте, что вы положили в банк 100 долларов при немыслимой, но крайне соблазнительной ставке в 100 процентов годовых. Это означает, что через год ваши 100 долларов превратятся в 200. Теперь начнем сначала и рассмотрим еще более благоприятный сценарий. Допустим, вы убедили банк начислять проценты дважды в год, чтобы вы могли пользоваться процентами с процентов по мере роста вклада. Сколько вы заработаете в этом случае? Учитывая, что вы просите банк начислять проценты вдвое чаще, справедливо, чтобы процентная ставка за полгода составила половину, то есть 50 процентов. Тогда через 6 месяцев вы получите 100 × 1,5 = 150 долларов. А за следующие 6 месяцев, в конце года, сумма вырастет еще на 50 процентов и на вашем счету будет 150 × 1,50 = 225 долларов. Это больше, чем вы получали по первоначальной договоренности, поскольку теперь вам начисляют проценты на проценты.

Теперь ответим на вопрос, что произойдет, если вы сможете убедить банк начислять проценты еще чаще, пропорционально уменьшая процентную ставку для каждого периода начисления? Станете ли вы баснословно богаты? К сожалению, нет. Если начислять проценты раз в квартал (то есть четыре раза в год), то в конце года на счету будет 100 × 1,25⁴

 ≈ 244,14 доллара – не намного больше по сравнению с 225. Если начислять проценты каждый день, то есть 365 раз в год, то вы получите в конце года всего лишь

Эта формула означает, что каждый день ваш вклад увеличивается на 1/365 часть и это увеличение происходит 365 дней подряд.

Наконец, предположим, что начисление процентов происходит еще чаще. Пусть банк начисляет их раз в год, где n – очень большое число, но при этом ставка пропорционально уменьшается и при каждом начислении составляет 1 / n. Тогда аналогично случаю с 365 начислениями для итоговой суммы получаем формулу

Если устремить n к бесконечности, то итоговая величина вклада будет в 100 раз больше, чем предел величины при стремлении n к бесконечности. Этот предел и определяется как число e. Как его вычислить, вовсе не очевидно, но это предельное значение приблизительно равно 2,71828…

В банковском деле описанная финансовая конструкция называется непрерывным начислением процентов. Наши результаты показывают, что тут нет ничего чрезвычайного. В описанном примере через год ваш вклад составил бы 100 × e ≈ 271,83 доллара. Это самый лучший возможный результат, но такая сумма всего на 37 центов больше, чем результат начисления раз в день.