Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Показательными функциями наряду с ростом можно описать и уменьшение. Оно происходит, когда величина уменьшается или потребляется со скоростью, пропорциональной ее текущему уровню. Например, половина атомов в отдельном куске урана распадается всегда за одно время – вне зависимости от того, сколько атомов в куске было изначально. Это время известно как период полураспада. Аналогичное понятие (например, период полувыведения) применимо и к другим областям. В главе 8 мы обсудим, что врачи узнали о СПИДе после того, как обнаружилось, что количество вирусных частиц в крови ВИЧ-инфицированных пациентов экспоненциально (с периодом полувыведения в двое суток) снизилось после ввода чудесного препарата под названием ингибитор протеазы.

Эти разнообразные примеры, от динамики цепных реакций и воя в микрофонах из-за обратной связи до накопления денег на банковских счетах, создают впечатление, что показательные функции и логарифмы прочно укоренились в тех областях анализа, которые имеют дело с изменениями во времени. И действительно, экспоненциальные рост и уменьшение – важные темы на современной стороне перекрестка анализа. Однако логарифмы впервые были обнаружены на другой стороне, еще тогда, когда анализ сосредоточивался на геометрии кривых. На самом деле натуральный логарифм появился давно, при изучении площади под гиперболой y = 1 / x. Дело запуталось в 1640-х годах, когда было установлено, что площадь под гиперболой определяет функцию, которая ведет себя странно, похоже на логарифм (фактически это и был логарифм). Он подчинялся тем же правилам и преобразовывал задачу умножения в задачу сложения, как и другие логарифмы, но его основание оставалось неизвестным.

Предстояло еще многое узнать о площадях под кривыми. Это было одной из двух крупных задач, стоящих перед анализом. Вторая заключалась в создании более систематического метода нахождения касательных и наклонов кривых. Решение этих двух задач и обнаружение удивительной связи между ними вскоре привело анализ и весь мир к современному состоянию.

Глава 6. Словарь изменений

С точки зрения XXI века анализ часто рассматривается как математика изменений. Он количественно их оценивает с помощью двух важных понятий – производные и интегралы. Производные определяют скорость изменений, они и будут главной темой этой главы, а интегралы – накопление изменений и мы обсудим их в главах 7 и 8.

Производные отвечают на вопросы «Насколько быстро?», «Насколько круто?» или «Насколько чувствительно?». Все эти вопросы касаются скорости изменений в той или иной форме. Скорость изменения – это изменение зависимой переменной, деленное на изменение независимой переменной. Символьно скорость изменения записывается в виде Δy / Δx, то есть изменение y

, деленное на изменение x. Иногда используются другие буквы, но структура записи та же. Например, если независимой переменной будет время, то естественнее записать эту величину как Δy / Δt, где t – время.

Наиболее известный пример скорости изменений – обычная скорость движения. Когда мы говорим, что автомобиль движется со скоростью 100 километров в час, эта величина рассматривается как скорость изменений, поскольку определяет скорость движения в виде Δy

 / Δt, то есть указывает, сколько проехал автомобиль (Δy = 100 километров) за данный промежуток времени (Δt = 1 час).

Аналогично скоростью изменений является и ускорение. Оно определяется как быстрота изменения скорости и обычно записывается в виде Δv

 / Δt, где v – скорость. Когда американский производитель автомобилей Chevrolet заявляет, что одна из его мощных моделей V-8 Camaro SS может разогнаться от 0 до 60 миль в час за 4 секунды, он указывает ускорение в форме быстроты изменения: изменение скорости (от 0 до 60 миль в час) делится на промежуток времени (4 секунды).

Третий пример скорости изменений – наклон пандуса (наклонного ската). Он определяется как высота пандуса по вертикали Δy, деленная на его горизонтальную протяженность Δx. Чем больше наклон, тем круче скат. Американское законодательство требует, чтобы наклон пандусов для инвалидных колясок не превышал 1/12. Горизонтальная поверхность имеет нулевой наклон.