Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Из всех существующих различных скоростей изменений важнее и полезнее всего наклон кривой на координатной плоскости, поскольку он может заменить все остальные. В зависимости от того, что обозначают x и y, наклон кривой может указывать скорость движения, ускорение, ставку выплат, обменный курс, прибыль от инвестиций или любой иной вид скорости изменений. Например, когда мы строили график количества калорий y, содержащихся в x ломтиках хлеба с изюмом и корицей, он представлял собой прямую линию с наклоном 200 (калорий на ломтик). Такой наклон – геометрическая характеристика – сообщает нам, с какой скоростью хлеб передает калории, то есть выражает характеристику питательности. Аналогично на графике, показывающем зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени, наклон будет указывать скорость машины. Таким образом, наклон – своего рода универсальный показатель скорости изменения. Поскольку любую функцию одной переменной можно изобразить в виде графика на координатной плоскости, мы можем найти скорость ее изменения, найдя наклон ее графика.

Ловушка здесь в том, что скорость изменений в реальном мире или в математике редко бывает постоянной. В этом случае ее определение усложняется. Первый важный вопрос в дифференциальном исчислении – выяснить, что делать, когда скорость изменений не постоянна. Устройства GPS и спидометры решили эту задачу: они всегда знают, какую скорость показать, даже несмотря на то, что автомобиль при этом ускоряется или замедляется. Как они это делают? Какие вычисления производят? С помощью анализа, как мы сейчас увидим.

Так же как скорость движения не должна быть постоянной, так и наклоны не обязаны быть постоянными. Например, кривая вроде окружности или параболы (или любая другая гладкая линия, за исключением идеальной прямой) в одних местах будет круче, чем в других. Так происходит и в реальном мире. На горных тропах есть более крутые участки и более спокойные, плоские. Поэтому остается вопрос: как нам определить наклон, если он может меняться?

Первое, что нужно осознать, – это необходимость расширить наше представление о том, что такое скорость изменений. В алгебраических задачках, где пройденное расстояние равнялось произведению скорости на время, скорость всегда оставалась постоянной. Но в анализе это не так. Поскольку скорость движения, наклон и прочие величины изменяются вместе с изменениями независимой переменной x или t, их нужно рассматривать как функции. Скорости изменения – отныне не просто числа. Они должны стать функциями.

Именно это и делает понятие производной Оно определяет скорость изменения как функцию, а также скорость изменения в заданной точке в данное время, даже если эта скорость переменная. В этой главе мы увидим, как определяются производные, что они означают и почему так важны.

Не секрет, что важность производных объясняется их вездесущностью. Законы природы на самом глубоком уровне выражаются с помощью производных – словно Вселенная знала о скорости изменений раньше нас. На более приземленном уровне производные появляются всякий раз, когда нам нужно количественно оценить, как изменения в одной величине подействуют на изменения в другой. Как повышение цены на какое-нибудь приложение повлияет на пользовательский спрос на него? Насколько повышение дозы статинов улучшает их способность снижать уровень холестерина у пациента или увеличивает риск появления побочных эффектов, например вреда для печени? Каждый раз, изучая взаимоотношения любого рода, мы хотим знать: если изменяется одна переменная, то насколько сильно меняется связанная с ней другая переменная? И в каком направлении – возрастая или убывая? Эти вопросы связаны с производными. Ускорение ракеты, рост населения, доходность инвестиций, перепад температур в миске с супом – все это производные.

В анализе производная обозначается dy / dx. Предполагается, что это напомнит вам об обычной скорости изменений Δy / Δx, но теперь изменения dy

и dx считаются бесконечно малыми. Это новая дикая идея, с которой мы будем работать медленно и осторожно, хотя она и не должна вызывать удивления. Мы знаем из принципа бесконечности, что путь к успеху в решении сложной задачи состоит в ее делении на бесконечно малые кусочки, их анализе и последующем сложении обратно с целью найти ответ. В контексте дифференциального исчисления небольшие изменения dy и dx – это те самые бесконечно малые кусочки. Их объединение – уже задача интегрального исчисления.

Три главные задачи анализа

Чтобы подготовиться к тому, что нас ждет впереди, нужно с самого начала представлять общую картину. В анализе есть три центральные задачи. Они схематически показаны на диаграмме ниже.

1. Прямая задача: дана кривая, найти ее наклон в любой точке.

2. Обратная задача: дан наклон кривой в любой точке, найти кривую.

3. Задача площади: дана кривая, найти площадь лежащей под ней области.