Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Я выделил два времени года, которые имеют большое эмоциональное значение для многих из нас, – период весеннего равноденствия и зимнего солнцестояния, однако не менее поучительно рассмотреть весь год в целом. Чтобы отслеживать сезонные колебания в скорости изменения продолжительности дня, я вычислял их через определенные интервалы времени, начиная с 1 января и далее через каждые две недели. Результаты представлены на следующем графике.

Вертикальная ось отображает ежедневную скорость изменений, то есть количество дополнительных минут светового дня при переходе от одних суток к другим. Горизонтальная ось – пронумерованные дни года, от 1 (1 января) до 365 (31 декабря).

Скорость изменений поднимается и падает, словно волна. Она начинается с положительных величин в конце зимы и начале весны, когда дни становятся длиннее, и достигает пика около 79-го дня (весеннее равноденствие, 20 марта). Как мы уже знаем, именно в это время дни прибывают особенно активно, примерно на 2,72 минуты в сутки. Однако после этого наступает спад. Скорость начинает падать и становится отрицательной после летнего солнцестояния на 172-й день (21 июня). Отрицательной она становится потому, что дни начинают укорачиваться: продолжительность следующего светового дня меньше предыдущего. Скорость достигает минимума примерно 22 сентября, когда день укорачивается сильнее всего, и остается отрицательной (хотя и не такой отрицательной) до зимнего солнцестояния на 355-й день (21 декабря), когда дни снова начинают прибывать, пусть пока и незаметно.

Любопытно сравнить эту волну с той, которую мы видели ранее в главе 4

. Если их изобразить на одном графике и поменять масштаб так, чтобы амплитуды были сравнимы, получится следующий рисунок:

Здесь представлены данные за два года, чтобы подчеркнуть повторяемость волн. А для усиления эффекта сравнения я также соединил точки и убрал числа с вертикальной оси, чтобы сосредоточить внимание на форме волн и зависимости от времени.

Первое, что нужно отметить, – это рассинхронизация волн. Они не достигают пика одновременно. Волна продолжительности дня достигает пика примерно в середине года, тогда как волна скорости ее изменения – примерно тремя месяцами ранее. Если учесть, что каждой волне требуется двенадцать месяцев на полный цикл восходящего и нисходящего движения, то три месяца – это четверть цикла.

Следует также отметить, что волны напоминают друг друга по форме, но с определенными различиями. Несмотря на наличие родственных признаков, пунктирная волна менее симметрична, чем сплошная, а ее пики и впадины более плоские.

Я углубляюсь во все это, поскольку эти волны из реального мира позволяют разглядеть замечательное свойство синусоид: когда некая переменная изменяется по идеальной синусоиде, скорость ее изменений также меняется по идеальной синусоиде со сдвигом на четверть цикла. Это свойство самовоспроизведения характерно для синусоидальных волн. Другие волны им не обладают. Его можно было бы принять даже за определение

синусоиды. В этом смысле наши данные намекают на уникальный феномен возрождения, присущий идеальным синусоидам. (Мы еще поговорим об этом в связи с анализом Фурье – мощной областью анализа, благодаря которой появились некоторые наиболее интересные современные применения.)

Теперь я попробую пояснить, откуда берется сдвиг на четверть цикла. Та же самая концепция объясняет, почему при вычислении скорости изменения синусоидальных волн снова получаются синусоидальные волны. Ключевой момент в данном случае заключается в том, что синусоиды связаны с равномерным круговым движением. Вспомните, что, когда точка движется по окружности с постоянной скоростью, ее движение вверх и вниз дает во времени синусоиду. (Впрочем, движение влево и вправо дает то же самое). С учетом всего этого рассмотрим следующую диаграмму: