Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Это кривая y = x², которая соответствует простейшей нелинейной функции на калькуляторе, квадратичной функции x². Такой пример даст нам некоторую практику с определением производной как наклона (углового коэффициента) касательной, а также разъяснит ограничения подобного определения.

Рассматривая параболу, мы видим, что одни ее части крутые, а другие относительно пологие. В точке x = 0 парабола горизонтальна, и мы без труда понимаем, что производная в этой точке должна равняться 0, потому что касательная линия в этой точке, очевидно, совпадает с осью x. Линия не поднимается и не опускается, а значит, ее наклон должен быть равен 0.

Однако на первый взгляд неясно, каков наклон параболы в других точках. Фактически он вообще неочевиден. Чтобы разобраться в этом, давайте проведем мысленный эксперимент в духе Эйнштейна и представим, что бы мы увидели, если бы начали смотреть на произвольную точку (x, y) с большим увеличением, словно увеличиваем масштаб при фотографировании, оставляя эту точку в центре кадра. Это похоже на то, как будто мы смотрим на нее в микроскоп и постепенно добиваемся все большего увеличения. По мере увеличения прилегающий к точке кусок параболы будет все сильнее напоминать прямую. В пределе при бесконечно большом увеличении (это означает, что мы смотрим на бесконечно маленький

кусочек кривой вокруг интересующей нас точки) данный увеличенный кусочек должен приблизиться к прямой. Тогда эта предельная прямая линия определяется как касательная в данной точке кривой, а угловой коэффициент как производная в этой точке.

Обратите внимание, что здесь мы используем принцип бесконечности – пытаемся упростить сложную кривую, нарезая ее на бесконечно маленькие отрезки. Именно это всегда происходит в анализе. Искривленные формы сложны; прямые формы просты, даже если их бесконечно много и они бесконечно малы. Вычисление производных таким способом – квинтэссенция математического анализа и одно из самых фундаментальных применений принципа бесконечности.

Чтобы провести этот мысленный эксперимент, нам нужно выбрать точку на параболе, в которой мы начнем проводить увеличение. Подойдет любая, но для численного удобства возьмем ту, которая соответствует значению x = 1 / 2. На рисунке выше она выделена. Ее координаты на плоскости таковы: (1/2, 1/4), или в десятичной записи (0,5; 0,25). Почему здесь y = 1 / 4? Мы выбираем точку, чтобы она лежала на параболе, а для всех точек (x, y) параболы должно выполняться соотношение y = x². Следовательно, в точке x

 = 1 / 2 значение y должно быть равно

Теперь мы готовы производить увеличение в интересующей нас точке. Поместим точку (x, y) = (0,5;0,25) в центр поля микроскопа и с помощью компьютерной графики увеличим вокруг нее маленький участок кривой. На следующем рисунке показано первое увеличение.

При таком увеличении общая форма параболы теряется. Мы видим слегка искривленную дугу. Этот небольшой кусок параболы, лежащий между x = 0,3 и x = 0,7, кажется намного менее искривленным, чем парабола в целом.

Продолжим увеличение, взяв участок от x = 0,49 до x

 = 0,51. Получившаяся в результате линия выглядит еще более прямой, чем предыдущий отрезок, – едва ли не по-настоящему прямой линией, хотя это все еще маленькая часть параболы.

Тенденция ясна. По мере увеличения изображения участки параболы будут выглядеть все прямее. Измеряя отношение Δy / Δx для этого почти прямого участка и увеличивая все сильнее и сильнее, мы можем найти предельное значение наклона Δy / Δx, когда Δx стремится к 0. Компьютерная графика настойчиво подсказывает, что наклон (угловой коэффициент) этой почти прямой линии становится все ближе к 1, что соответствует прямой под углом 45°.

С помощью алгебры мы можем доказать, что предельный наклон в точности равен 1. (В главе 8 мы покажем, как производятся подобные вычисления.) Более того, выполнение такого расчета не только для точки x

 = 0,5, но и для любой точки x показывает, что предельный наклон – а значит, и угловой коэффициент касательной – равен 2x для любой точки (x, y) параболы. На языке анализа это звучит так:

Производная функции x² равна 2x.

Как бы ни был велик соблазн доказать это правило для производных, прежде чем двигаться дальше, давайте пока примем его и посмотрим, что оно означает. Прежде всего, оно говорит, что в точке x = 0,5 наклон равен что мы и видим на рисунке. Оно также утверждает, что в нижней точке параболы в x = 0 наклон должен равняться 2 × 0 = 0, и мы убедились, что это тоже верно. Наконец, формула 2x говорит, что по мере движения по параболе вправо ее наклон будет возрастать; чем больше увеличивается x, тем больше должен быть наклон (= 2x), а это означает, что парабола должна становиться все круче и круче. Так на самом деле и есть.