Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Наш эксперимент помогает понять пару важных оговорок. Производная определена только в том случае, если по мере увеличения кривая приближается к какой-то предельной прямой линии. Это не относится к некоторым патологическим кривым. Например, если кривая имеет V-образную форму с острым углом в какой-то точке, то, как ни увеличивай окрестность этой точки, она продолжит выглядеть как угол. Этот угол никогда не исчезнет, независимо от степени увеличения кривой. Прямой линии никогда не получится. Следовательно, V-образная кривая не имеет определенной касательной в этом угле, и поэтому у нее нет тут производной.

Если же кривая выглядит все более прямой при достаточном увеличении, то говорят, что она гладкая В этой книге я исхожу из предположения, что кривые и процессы гладкие, как это делали родоначальники анализа. Однако в современном анализе мы научились справляться и с негладкими кривыми. Неудобства и патологии негладких кривых иногда возникают в областях, где бывают внезапные скачки или иные разрывности в поведении физических систем. Например, когда мы щелкаем выключателем электрической цепи, ток от состояния полного отсутствия внезапно переходит к состоянию наличия. График зависимости тока от времени показал бы резкий, почти вертикальный подъем, который аппроксимируется разрывным скачком в момент включения. Иногда удобнее смоделировать этот резкий переход как истинный разрыв значений функции, и в этом случае ток как функция времени не будет иметь производной в момент щелчка выключателем.

Значительная часть курса анализа в школе или колледже посвящена правилам вычисления производных, подобных установленным нами выше для x², только для других функций, таких как «производная синуса равна косинусу» или «производная lnx

равна 1/x». Однако для наших целей более важно понять идею производной и увидеть, как это абстрактное определение применяется на практике. Для этого давайте обратимся к реальному миру.

Производная как скорость изменения продолжительности дня

В главе 4 мы рассматривали данные о сезонных изменениях продолжительности дня. Тогда нам нужно было проиллюстрировать идею о синусоидах, оптимальном подборе кривых и сжатии данных; сейчас мы можем использовать те же данные для иллюстрации различных скоростей изменений и применить производные к другим задачам.

Исходные данные относились к количеству минут светового дня (времени между восходом и заходом солнца) в Нью-Йорке в 2018 году. В этом контексте производная – это скорость, с которой удлинялись или укорачивались дни. Например, 1 января время от рассвета до заката составляло 9 часов, 19 минут и 23 секунды. 2 января оно было немного больше: 9 часов, 20 минут и 5 секунд. Эти дополнительные 42 секунды дневного света (что эквивалентно 0,7 минуты) – мера того, насколько быстро удлинялся световой день за те конкретные сутки года. Продолжительность дня увеличивалась со скоростью примерно 0,7 минуты в сутки.

Для сравнения рассмотрим скорость изменений спустя две недели, 15 января. Между этими сутками и следующими продолжительность светового дня возросла на 90 секунд, то есть скорость увеличения составила 1,5 минуты в сутки, что более чем в два раза превышает показатель 0,7 минуты двумя неделями ранее. Таким образом, в январе продолжительность дня не просто увеличивается, а с каждым днем увеличивается все быстрее

.

Эта приятная тенденция сохраняется еще несколько недель. С приходом весны дни становятся все длиннее, причем довольно быстро. В день весеннего равноденствия, 20 марта, скорость увеличения достигает восхитительных 2,72 минуты в сутки. Вы можете посмотреть на этот день на графике в главе 4. В этот 79-й день года, то есть примерно после четверти года, день увеличивается наиболее быстро. Это видно на графике – там, где он самый крутой, продолжительность дня растет быстрее всего, то есть производная максимальна – дни удлиняются с максимально возможной скоростью. Все это происходит весной.

Для грустного контраста взгляните на самые короткие дни в году. Здесь двойная печаль: эти мрачные зимние дни не только удручающе коротки, но и меняются крайне медленно, что только добавляет оцепенения. Тем не менее это тоже логично. Самые короткие дни находятся в нижней части синусоиды, отображающей продолжительность дня, а в нижней части волна близка к горизонтальной линии (иначе это не было бы нижней частью – ситуация бы улучшалась или ухудшалась). В силу того что синусоида в нижней части почти горизонтальна, ее производная близка к нулю, а это означает, что скорость изменений стопорится (по крайней мере, на мгновение). В такие дни кажется, что весна не наступит никогда.