Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Между 1672-м и 1676 годом Лейбниц создал собственную версию анализа. Как и Ньютон, он установил и доказал основную теорему, осознал ее значимость и построил вокруг нее алгоритмическую систему. Он писал, что с ее помощью смог «в мгновение ока»[232] вывести почти все теоремы о квадратурах и касательных, известные в то время, – за исключением тех, которые Ньютон по-прежнему скрывал от мира.

Когда Лейбниц написал два письма Ньютону в 1676 году, любопытствуя и прося доказательств, он понимал, что излишне напорист, но ничего не мог с собой поделать. Как он однажды признался своему другу, «я часто ощущаю себя обремененным недостатком, который в этом мире имеет большое значение, а именно нехваткой изысканных манер, поэтому часто порчу первое впечатление о себе»[233].

Тощий, сутулый и бледный[234]

, Лейбниц был не из тех, чья внешность привлекает внимание, но его ум был прекрасен. Он был самым разносторонним гением[235] в век гениев, среди которых были Декарт, Галилей, Ньютон и Бах.

Хотя Лейбниц создал свой вариант анализа через десятилетие после Ньютона, обычно по нескольким причинам его считают соавтором. Он первым опубликовал результаты, причем в стройной удобоваримой форме, да и воспользовался продуманными элегантными обозначениями, которые актуальны до сих пор. Более того, Лейбниц привлекал последователей, которые распространяли его слово с евангельским рвением. Они написали влиятельные учебники и проработали предмет с плодовитой детальностью. Позднее, когда Лейбница обвиняли в краже анализа у соперника, эти ученики яростно его защищали и с тем же запалом контратаковали Ньютона.

Подход Лейбница к анализу более элементарен, чем у Ньютона, и во многих случаях интуитивно понятнее[236]

. Это также объясняет, почему изучение производных издавна называется дифференциальным исчислением, а операция взятия производной – дифференцированием. Причина в том, что при подходе Лейбница истинное сердце анализа – понятие дифференциала, производные же вторичны и являются позднейшим продуктом.

Сегодня мы забываем, насколько важны были дифференциалы. Современные учебники преуменьшают их значимость, переопределяют и обеляют их, поскольку они (ах!) бесконечно малы. В этом качестве они кажутся парадоксальными, странными и пугающими, поэтому многие учебники – просто на всякий случай – запирают бесконечно малые где-то на чердаке, как мать Нормана Бейтса в фильме «Психо». Но на самом деле их не стоит бояться. Правда.

Давайте же с ними познакомимся.

Бесконечно малые величины

Бесконечно малая величина – весьма туманная вещь. Предполагается, что это самое крохотное число, которое вы можете себе представить, но при этом не равное нулю. Короче говоря, бесконечно малая величина меньше, чем все, но больше, чем ничто. Еще парадоксальнее то, что бесконечно малые величины бывают разных размеров.

Бесконечно малая часть бесконечно малой величины – еще неизмеримо меньше. Мы могли бы назвать это бесконечно малой величиной второго порядка.

Точно так же как существуют бесконечно малые величины, существуют бесконечно малые длины и бесконечно малые времена. Бесконечно малая длина – это не точка, она больше точки, но меньше, чем любая длина, которую вы можете себе представить. Аналогично бесконечно малый временной интервал – это не мгновение, не одна точка во времени, но он короче любого мыслимого промежутка времени.

Понятие бесконечно малых величин возникло как способ говорить о пределах. Вспомните пример из главы 1, где мы рассматривали последовательность правильных многоугольников, которая начиналась с равностороннего треугольника и квадрата и продолжалась пятиугольниками, шестиугольниками и другими правильными многоугольниками со все большим числом сторон. Мы отмечали, что чем больше сторон рассматриваем, тем больше многоугольник становится похож на окружность. У нас возникало искушение сказать, что окружность – это многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон, но мы прикусили язык, поскольку это понятие, казалось, вело к бессмыслице.

Мы также обнаружили, что если взять любую точку на окружности и смотреть на нее в микроскоп, то любая крохотная дуга, содержащая эту точку, будет при увеличении выглядеть все прямее и прямее. В пределе с бесконечным увеличением она будет идеально прямой. В этом смысле действительно полезно думать об окружности как о бесконечном множестве прямых фрагментов и, следовательно, как о многоугольнике с бесконечным числом бесконечно малых сторон.