Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Такой способ мышления, когда мы пренебрегаем всеми вкладами в правильный ответ, кроме самой крупной, львиной доли, может показаться только приблизительным. И это так, если изменения на входе вроде числа 0,001, добавленного нами к 2, – это конечные изменения. Но если мы рассмотрим бесконечно малые изменения на входе, то наш метод мышления станет точным. Ошибок не будет. Львиная доля становится всем. И, как мы уже говорили в этой книге, бесконечно малые изменения – именно то, что нам нужно, чтобы понимать наклоны, мгновенные скорости и площади криволинейных областей.

Чтобы посмотреть, как это работает на практике, давайте вернемся к примеру выше, когда мы пытались вычислить куб числа, слегка превышающего 2. Только теперь изменим число с 2 на 2+dx, где dx – бесконечно малое приращение Δx. Это понятие по своей сути не отличается осмысленностью, так что не думайте о нем слишком усердно. Главное тут – знать, что понимание того, как это работает, упрощает вычисления.

Предыдущая формула (2 + Δx)³ = 8 + 12Δx + 6(Δx)² + (Δx)³, в частности, теперь сокращается до более простой:

(2 + dx)³ = 8 + 12dx.

Что произошло с остальными слагаемыми вида 6(dx)² + (dx)³? Мы их отбросили. Ими можно пренебречь. Эти сверхмалые и сверхсверхмалые величины пренебрежимо малы по сравнению с 12dx. Но почему тогда мы сохранили 12dx

? Разве эта величина не пренебрежимо мала по сравнению с 8? Да, но если бы мы отбросили еще и ее, то не учли бы вообще никаких изменений, и ответ остался бы 8. Поэтому рецепт таков: для изучения бесконечно малых изменений сохраните слагаемые, включающие dx в первой степени, и игнорируйте все остальные.

Такой способ мышления, использующий бесконечно малые величины вроде dx, можно переформулировать в терминах пределов и сделать совершенно кошерным и строгим. Современные учебники действуют именно так. Но быстрее и проще использовать бесконечно малые величины. Специальный термин для них в этом контексте – дифференциалы Это название проистекает от их представления в виде разностей Δx и Δy, когда эти разности в пределе стремятся к нулю[240]. Это похоже на то, что мы видели, когда рассматривали параболу под микроскопом и наблюдали, как кривая становится все прямее и прямее при увеличении.

Производные через дифференциалы

Позвольте вам показать, насколько простыми становятся некоторые идеи, если подходить к ним через дифференциалы. Например, что такое наклон кривой, если рассматривать ее в виде графика на координатной плоскости? Как мы узнали из нашей работы с параболой в главе 6, наклон – это производная, определяемая как предел Δy / Δx, когда Δx стремится к нулю. А чем он будет в терминах дифференциалов? Просто dy / dx. Словно кривая составлена из крохотных прямых линий.

Если мы представим dy как бесконечно малое приращение по вертикали, а dx – как бесконечно малое приращение по горизонтали, то наклон будет просто их отношением, как и всегда для наклонного пандуса, и, следовательно, составит dy / dx.

Чтобы применить этот подход к конкретной кривой (например, y = x

³, которую мы использовали, возводя в куб числа, слегка превосходящие 2), вычислим dy следующим образом. Пишем:

y + dy = (x + dx)³.

Как и раньше, раскрываем скобки справа и получаем

(x + dx)³ = x³ + 3x²dx + 3x(dx)² + (dx)³

.

Теперь в соответствии с нашим рецептом отбрасываем слагаемые (dx)² и (dx)³, потому что они не входят в львиную долю. Таким образом, у нас получается

y + dy = (x + dx)³ = x³ + 3x²dx.

А поскольку y = x³, упрощаем уравнение до вида

dy = 3x²dx

.

Деление обеих частей на dx дает соответствующий наклон

В точке x = 2 это дает наклон 3×(2)² = 12. То же число 12, что мы видели ранее. Именно поэтому изменение с 2 до 2,001 давало нам (2,001)³ ≈ 8,012. Это означает, что бесконечно малое изменение x около 2 (назовем его dx) преобразуется в бесконечно малое изменение y около 8 (назовем его dy), которое в 12 раз больше (dy = 12dx).

Между прочим, аналогичные рассуждения показывают, что для любого положительного n производная y = xⁿ равна dy / dx = Δxⁿ-1; этот результат мы уже упоминали ранее. При небольших дополнительных усилиях мы могли бы распространить его на отрицательные, дробные и иррациональные n.

Большое преимущество бесконечно малых в целом и дифференциалов в частности состоит в том, что они облегчают вычисления. Они срезают путь. Освобождают разум для более творческого мышления, так же как алгебра делала это для геометрии в давние годы. Вот за это Лейбниц и обожал дифференциалы. Он писал своему наставнику Гюйгенсу: «Мой анализ обеспечил мне практически без размышлений огромную часть открытий, которые относятся к этой теме. Что мне больше всего нравится в моем анализе, так это то, что он предоставляет те же преимущества перед древними в геометрии Архимеда, которые Виет и Декарт дали нам в геометрии Евклида или Аполлония, освобождая нас от необходимости работать с воображением»[241].