Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Единственное, что нехорошо с бесконечно малыми величинами, – это то, что они не существуют, по крайней мере в системе действительных чисел. Да, и еще одно – они парадоксальны. Они не казались бы осмысленными, даже если бы существовали. Один из последователей Лейбница, Иоганн Бернулли, понял, что они обязаны удовлетворять бессмысленным уравнениям вроде x + dx = x, хотя dx – это не ноль. Хм. Ну нельзя же получить все сразу! Бесконечно малые величины действительно дают правильные ответы, как только мы научимся с ними работать, а предоставляемые ими выгоды с лихвой компенсируют все психические расстройства, которые они могут вызывать. Они подобны лжи Пикассо, которая помогает нам осознать истину.

В качестве еще одной демонстрации мощи бесконечно малых величин Лейбниц использовал их для вывода закона синусов для преломления света, предложенного Снеллом. Вспомните главу 4: когда свет переходит из одной среды в другую (скажем, из воздуха в воду), он изгибается в соответствии с математическим законом, который не раз был установлен в течение столетий. Ферма объяснил его своим принципом наименьшего времени, но изо всех сил пытался решить задачу оптимизации, которую подразумевал его принцип. С помощью своих дифференциалов Лейбниц с легкостью вывел закон синусов[242] и с явной гордостью отметил, что «другие весьма ученые мужи искали многими хитроумными способами то, что человек, сведущий в этом анализе, может достичь в этих строках, как по волшебству»[243].

Основная теорема анализа через дифференциалы

Еще одним триумфом дифференциалов Лейбница стало то, что они сделали основную теорему прозрачной. Вспомним, что она относится к функции накопления площади A(x), которая определяет площадь под кривой y = f(

x) в интервале от 0 до x. Теорема гласит, что при сдвиге x вправо площадь под кривой накапливается со скоростью самой f(x). Таким образом, f(x) является производной A(x).

Чтобы понять, откуда берется этот результат, предположим, что мы увеличиваем x на бесконечно малую величину dx. Как изменится площадь A

(x)? По определению, она изменится на величину dA, то есть новая площадь равна старой плюс ее приращение, A + dA.

Основная теорема получается сразу же, как только мы наглядно представим, чему должно равняться dA. Как видно из рисунка ниже, площадь изменяется на бесконечно малую величину dA, которая представляет собой узкую вертикальную полоску между x и x + dx.

Эта полоска – прямоугольник с высотой y и основанием dx. Поэтому его площадь равна произведению этих величин, то есть

y dx или, если угодно, f(x)dx.

В действительности такая полоска будет прямоугольником только при бесконечно малом приращении. В реальности для полоски конечной ширины Δx изменение площади ΔA будет состоять из двух частей. Основной вклад внесет прямоугольник площади yΔx. Намного меньше по площади маленький, криволинейный сверху, похожий на треугольник кусочек, располагающийся над этим прямоугольником.

Вот еще один случай, когда мир бесконечно малых величин приятнее реального. В реальном мире нам пришлось бы учитывать площадь этой крышечки, а это сделать непросто, поскольку она зависит от формы кривой. Но когда ширина прямоугольника стремится к нулю и «становится» dx, площадь крышечки оказывается пренебрежимо малой по сравнению с площадью прямоугольника. Это сверхмалая величина по сравнению с малой величиной.

В результате получается, что dA = y dx = f

(x)dx. Бум! И вот вам основная теорема анализа. Или, как это более вежливо переформулируют в нынешние дни (в наше заблудшее время, когда дифференциалы отвергнуты ради производных),

Это в точности то, что мы установили в главе 7 с помощью примера с малярным валиком.

И последнее: когда мы рассматриваем площадь под кривой как сумму бесконечного числа бесконечно узких прямоугольных полосок, то записываем это как[244]

Этот символ с длинной шеей, похожий на лебедя – фактически растянутая буква S, которая напоминает нам, что здесь происходит суммирование[245]. Это суммирование определенного рода, характерное для интегрального исчисления, подразумевающее сумму бесконечного количества бесконечно узких полосок, объединенных в единую связную область. Символ называется знаком интеграла. Лейбниц ввел его в рукописи 1677 года и опубликовал в 1686-м. Это самый узнаваемый символ математического анализа. Число 0 под этим знаком и величина x над ним указывают на конечные точки интервала на оси x, над которым выстроены прямоугольники. Эти точки называются пределами интегрирования.

Как Лейбниц пришел к дифференциалам и основной теореме?