Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

И Ньютон, и Лейбниц пользовались бесконечно малыми величинами, но в то время как Ньютон впоследствии отказался от них в пользу флюксий (которые представляют собой отношение бесконечно малых первого порядка и поэтому конечны и респектабельны, как, собственно, производные), у Лейбница был более прагматичный взгляд[237]. Он не беспокоился о том, существуют ли они на самом деле. Он считал их полезным и эффективным способом переформулировать рассуждения о пределах. Он также рассматривал их как удобные бухгалтерские средства, которые высвобождают воображение для более продуктивной работы. Как он объяснял одному коллеге: «С философской точки зрения я верю в бесконечно малые числа не больше, чем в бесконечно большие. Я рассматриваю те и другие как измышления разума, предназначенные для сжатого изложения, пригодного для анализа»[238].

А что сегодня по этому поводу думают математики? Существуют ли в реальности бесконечно малые величины? Это зависит от того, что вы подразумеваете под реальностью. Физики говорят нам, что бесконечно малые в реальном мире не существуют. В идеальном мире математики на обычной прямой действительных чисел бесконечно малым величинам места нет, однако они существуют в некоторых нестандартных числовых системах, обобщающих действительные числа[239]. Для Лейбница и его последователей они существовали как измышления разума, которые оказались удобными и пришлись кстати. Вот так мы и станем о них думать.

Куб чисел, близких к 2

Чтобы посмотреть, насколько поучительными могут быть бесконечно малые, давайте возьмем конкретный пример. Рассмотрим арифметическую задачу. Сколько будет 2 в кубе (то есть 2×2×2)? Естественно, 8. А как насчет 2,001×2,001×2,001? Понятно, что чуть больше 8, но насколько именно?

То, что мы сейчас ищем, – это способ мышления, а не численный ответ. Общий вопрос таков: если мы незначительно меняем в задаче входное число (в данном случае с 2 на 2,001), то как оно изменится на выходе? В данном случае с 8 на 8 плюс нечто, и структуру этого нечто мы и хотим понять.

Поскольку совладать с искушением подглядеть ответ нелегко, давайте посмотрим, что нам скажет калькулятор. Набираем 2,001, нажимаем кнопку x³ и получаем:

(2,001)³ = 8,012006001.

Структура числа после десятичной запятой такова:

0,012006001 = 0,012 + 0,000006 + 0,000000001.

Подумайте об этом так: малое плюс сверхмалое плюс сверхсверхмалое.

Мы можем пояснить такую конструкцию с помощью алгебры. Предположим, что величина x (в нашем случае 2) слегка изменяется и становится равной x + Δx (в нашем примере 2,001). Символ Δx означает приращение x, то есть небольшое изменение x (у нас Δx = 0,001). И когда мы спрашиваем, чему равно (2,001)³, мы на самом деле спрашиваем, чему равно (x + Δx)³. Перемножив его (используя треугольник Паскаля или формулу бинома), получаем:

(x

 + Δx)³ = x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³.

В нашей задаче, где x = 2, это уравнение принимает вид

(2 + Δx)³ = 2³ + 3(2)²Δx + 3(2)(Δx)² + (Δx)³ = 8 + 12Δx + 6(Δx)²

 + (Δx)³.

Теперь мы видим, почему добавка к 8 состоит из трех частей различной величины. Малая, но главная часть равна 12Δx = 12×0,001 = 0,012. Оставшиеся части 6(Δx)² и (Δx)³ отвечают за сверхмалую 0,000006 и сверхсверхмалую 0,000000001 величины. Чем больше множителей Δx входит в слагаемое, тем оно меньше. Вот почему они ранжируются по размеру. Каждое лишнее умножение на маленькое число Δx делает малую величину еще меньше.

В этом небольшом примере хорошо видна ключевая идея дифференциального исчисления. Во многих ситуациях, касающихся причины и следствия, дозы и реакции, входа и выхода, а также иной взаимосвязи между переменной x и зависящей от нее переменной y, небольшое изменение на входе Δx приводит к небольшому изменению на выходе Δy. Это небольшое изменение, как правило, организовано структурированным способом, который мы можем изучить, а именно: изменение на выходе организовано иерархически из нескольких частей. Они ранжированы по размеру от малого вклада до сверхмалого и еще меньших вкладов. Такая градация позволяет нам сосредоточиться на части, пусть и малой, но вносящей основной вклад, и пренебречь всеми остальными частями – сверхмалыми и еще меньшими. Именно в этом и состоит основная идея. Хотя малое изменение мало, оно колоссально по сравнению с другими (как в нашем примере число 0,12 огромно по сравнению с 0,000006 и 0,000000001).

Дифференциалы