Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Теперь мы видим метод в этом безумии[247]. Взгляните повнимательнее на структуру суммы. Почти все слагаемые входят в нее дважды, один раз с плюсом, а другой – с минусом. Например, число 1/2 сначала вычитается, а потом добавляется и в результате пропадает. То же верно для 1/3: оно встречается дважды и исчезает. Остальные дроби, до 1/99 включительно, ведут себя так же. Исключения – первое и последнее слагаемое в сумме S, у которых нет парных элементов с другим знаком. В результате, когда дым рассеивается, остаются только они. Поэтому результат таков:

Это вполне логично в свете аналогии с лестницей и снова говорит нам, что общая сумма высот всех ступенек определяется как высота вверху минус высота внизу.

К слову, S упрощается до 99/100. Это и есть ответ на задачу с 99 слагаемыми. Лейбниц понял, что с помощью того же трюка может справиться с любым числом слагаемых. Если в сумме будет N членов, а не 99, то в результате получится:

Все это проясняет ответ на изначальный вопрос Гюйгенса: когда N стремится к бесконечности, слагаемое 1/(N + 1) стремится к нулю, а потому S стремится к 1. Следовательно, это предельное значение 1 и будет ответом для задачи Гюйгенса.

Ключевой идеей, позволившей Лейбницу найти эту сумму, была ее весьма конкретная структура: оказалось, что ее можно переписать в виде суммы последовательных разностей (в данном случае в виде разности аликвотных дробей). Такая структура привела к масштабным сокращениям, как мы видели выше. Подобные суммы сегодня в математике называют телескопическими, поскольку они напоминают те старые складные подзорные трубы, которые вы могли видеть в фильмах про пиратов. Аналогия тут в том, что исходная сумма предстает в разложенной форме, но вследствие разностной структуры ее можно привести к более компактному виду. При этом выживают только слагаемые без партнеров, с которыми их можно сократить, – те, которые находятся на концах телескопа.

Естественно, Лейбниц задался вопросом, применим ли трюк с телескопированием к другим задачам. Такую идею стоило реализовать, учитывая, насколько мощной она могла быть. Если бы он, столкнувшись с длинным списком чисел, которые требуется сложить, мог записать каждое число в виде разности последовательных чисел (которые еще нужно определить), телескопический трюк сработал бы снова.

Это заставило Лейбница задуматься о площадях. Ведь определение площади под какой-то кривой на координатной плоскости сводится к суммированию длинного списка чисел – площадей множества тонких вертикальных прямоугольных полосок.

На этом рисунке отражена идея, к которой он пришел. Здесь только восемь прямоугольных полос, но вы должны попробовать представить такую же картинку с миллионами и миллиардами более тонких прямоугольников или, еще лучше, бесконечно много бесконечно тонких прямоугольников. К сожалению, это трудно нарисовать или визуализировать, поэтому-то я и использую только восемь прямоугольников.

Для простоты предположим, что у всех прямоугольников одинаковая ширина. Назовем ее Δx. Высоты прямоугольников равны y₁, y₂, …, y₈. Тогда общая площадь всех аппроксимирующих прямоугольников составит

y₁Δx + y₂

Δx + … + y₈Δx.

Такую сумму восьми чисел было бы удобно «телескопировать», если бы мы нашли какие-нибудь волшебные числа A₀, A₁, A₂, …, A₈, разности которых дают площади прямоугольников

y₁Δx = A₁ – A₀,

y₂Δx = A₂ – A₁,

y₃Δx = A

₃ – A₂,

и так далее, вплоть до y₈Δx = A₈ – A₇. Тогда общая площадь всех прямоугольников телескопически сложилась бы так:

y₁Δx + y₂Δx + … + y₈Δx = (A₁ – A₀) + (A₂ – A₁) + … + (A₈ – A

₇) = A₈ – A₀.

А теперь подумайте, что будет, если мы выполним предельный переход к бесконечно узким полоскам. Их ширина Δx превратится в дифференциал dx. Их переменные высоты y₁, y₂, …, y₈ станут y(x) – функцией, которая определяет высоту бесконечно узкого прямоугольника, стоящего над точкой x. Сумма бесконечного числа таких прямоугольников станет интегралом ∫y(x)dx. При этом, как и в предыдущих случаях телескопирования, сумма A₈ – A₀ превращается в A(b) – A(a), где a и b – значения x

на левом и правом краю области. Вариант телескопирования для бесконечно малых величин дает нам точную площадь под кривой:

Но как найти эту волшебную функцию A(x), которая сделает все это возможным? Что ж, давайте посмотрим на все вышеописанные уравнения вида y₁Δx = A₁ – A₀. Они превращаются в

y(x)dx = dA,

поскольку прямоугольники становятся бесконечно тонкими. Если записать тот же результат в терминах производных, а не дифференциалов, поделив обе части на dx, то мы получим

Вот так мы находим аналоги волшебных чисел A₀, A₁, A₂, …, A₈, вызывающих телескопирование. В пределе для бесконечно тонких полосок они определяются неизвестной функцией A(x), производная которой – как раз наша функция y(x).