Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Ньютон и Лейбниц пришли к основной теореме анализа разными путями. Ньютон – размышляя о движении, постоянном спутнике математики. Лейбниц же зашел с другой стороны. Хотя у него не было математического образования, ранее он какое-то время занимался целыми числами, сочетаниями и перестановками, а также дробями и суммами определенного рода.

Более глубоко погружаться в эту науку он начал после встречи с Христианом Гюйгенсом. В то время Лейбниц находился с дипломатической миссией в Париже и был очарован рассказами Гюйгенса о последних достижениях в математике, поэтому захотел узнать больше. С чудесной педагогической прозорливостью (или это была удача?) Гюйгенс поставил перед учеником задачу, которая и привела немецкого математика к основной теореме[246].

Гюйгенс предложил Лейбницу вычислить бесконечную сумму:

(Точки в знаменателе означают умножение.) Чтобы понять задачу, начнем для разминки с простого варианта. Предположим, что сумма не бесконечна, а содержит, скажем, только 99 слагаемых. Иными словами, нам нужно вычислить

Если вы не найдете какого-то хитроумного трюка, то расчеты будут утомительными, хотя и несложными. При достаточном терпении (или при наличии компьютера) и упорстве можно сложить все 99 дробей. Однако пропала бы суть, а она тут в том, чтобы найти элегантное решение. Элегантные решения ценятся в математике не только потому, что красивы, но и потому, что сильны. Проливаемый ими свет часто можно использовать для решения других задач. В нашем случае элегантный свет, быстро обнаруженный Лейбницем, позволил ему открыть основную теорему анализа.

Он решил задачу Гюйгенса с помощью блестящего трюка. Когда я увидел его впервые, у меня было ощущение, что я наблюдаю за фокусником, извлекающим кролика из шляпы. Если вы хотите испытать схожие эмоции, пропустите аналогию, которую я сейчас проведу. Но если предпочитаете понимать то, что кроется за этим волшебством, смотрите на то, что за ним стоит.

Представьте человека, который поднимается по очень длинной лестнице с разной высотой ступенек.

Предположим, что наш герой решил измерить общую высоту подъема – от нижней ступени до верхней. Как ему это сделать? Ну, он всегда может сложить высоту всех отдельных ступенек. Такая мало вдохновляющая стратегия походила бы на сложение 99 дробей в вышеописанной сумме S. Так можно сделать, но эта работа не из приятных, потому что лестница у нас неправильная. А если в ней миллионы ступенек, то складывать их высоту – напрасный труд. Должен существовать способ получше.

И он есть – использовать альтиметр (высотомер). Это устройство, которое измеряет высоту над уровнем моря или земли. Если бы у Зенона на рисунке был высотомер, он бы решил задачу, просто определив высоту верхней точки, высоту нижней точки, а затем вычел бы одно из другого. Вот и все: общий подъем по вертикали равен разности этих двух величин. Такая разность равна сумме высот всех ступенек. Какой бы неправильной ни была лестница, это правило верно всегда. Его успех опирается на тот факт, что данные высотомера тесно связаны с величиной ступенек: для каждой ступеньки ее высота равна разности между последовательными показаниями высотомера. Иными словами, высота ступеньки – это разность высот ее вершины и ее основания.

Сейчас вы, вероятно, думаете: какое отношение имеет альтиметр к исходной задаче сложения большого числа сложных дробей? Ну, прежде всего, если бы мы смогли найти аналог высотомера для сложной суммы, она стала бы легкой. Это было бы эквивалентно разности между показаниями в верхней и нижней точке, что фактически и придумал Лейбниц. Он нашел высотомер для суммы S

. Это позволило ему записать каждый член в этой сумме в виде разности двух последовательных показаний высотомера, что, в свою очередь, дало возможность вычислить сумму с помощью вышеописанной идеи. Затем он применил высотомер и к другим задачам. В итоге все это привело Лейбница к основной теореме анализа.

Вооружившись такой аналогией, давайте снова вернемся к сумме S.

Теперь перепишем каждое слагаемое в виде разности двух других чисел – точно так же, как высота каждой ступеньки была разностью между показанием альтиметра вверху ступеньки и внизу. Начнем с первого слагаемого:

Правда, пока не очевидно, куда это приведет, но оставайтесь с нами. Сейчас мы увидим, насколько полезно переписать дробь 1/(1∙2) в виде разности двух аликвотных дробей 1/1 и 1/2. (Аликвотной называется дробь, числитель которой равен 1. Эти последовательные дроби станут играть роль последовательных показаний альтиметра.) Если арифметическое преобразование выше кажется неясным, попробуйте воспроизвести его справа налево. Справа мы вычитаем дробь 1/2 из дроби 1/1; в середине приводим их к общему знаменателю; слева упрощаем числитель.

Аналогично мы можем переписать в виде разности двух аликвотных дробей все остальные слагаемые в сумме S:

и так далее. В результате наша сумма S примет такой вид: