Быстрая математика: секреты устного счета

В сумме у множителей в данном примере имеются две цифры после запятой, если квадрат записать в виде произведения двух одинаковых чисел, и в ответе после запятой также должно быть две цифры. Поэтому искомый ответ равен 42,25.

6,5² = 42,25

Тот же метод работает и для произведения 6,5 х 65, которое соответственно будет равно 422,5.

Подобным образом, если надо перемножить 3¹/₂ и 3¹/₂, это даст в ответе 12¹/₄ (то есть 12,25).

Данный метод находит много применений.

Возведение в квадрат чисел, близких по значению к 50

Метод для возведения в квадрат чисел, близких по значению к 50, использует ту же формулу, что и при перемножении любых чисел. Однако есть еще один способ, позволяющий значительно упростить вычисления.

Например:

46 в квадрате означает 46 х 46. Округляя, получаем 50 х 50 = 2500. Берем 50 и 2500 в качестве опорных чисел.

46 меньше, чем 50, поэтому рисуем кружок под примером.

46 на 4 меньше 50, поэтому вписываем 4 в кружок. Впереди ставим минус.

Отнимаем 4 из числа сотен в 2500.

25 — 4 = 21

Это число сотен в искомом ответе. Его можно записать как 2100 (21 х 100). Чтобы получить остальную часть ответа, возведем в квадрат число в кружке.

4² = 16

2100 + 16 = 2116 ОТВЕТ

Рассмотрим другой пример:

56² =

56 больше, чем 50, поэтому рисуем кружок над примером.

Прибавляем 6 к числу сотен в 2500 (25). 25 плюс 6 дает 31. Промежуточный ответ равен 3100.

6² = 36

3100 + 36 = 3136 ОТВЕТ

Попробуем решить еще один пример:

25 + 12 = 37 (промежуточный ответ равен 3700)

12² = 144

3700 + 144 = 3844 ОТВЕТ

Попробуйте решить самостоятельно следующие примеры:

а) 57² = __; б) 51 ² = __; в) 48² = __; г) 39² = __; д) 45² = __

Ответы:

а) 3249; б) 2601; в) 2304; г) 1521; д) 2025.

Немного попрактиковавшись, вы вскоре будете в состоянии незамедлительно называть ответ.

Возведение в квадрат чисел, близких по значению к 500

Метод напоминает тот, что мы использовали для чисел, близких по значению к 50.

500, умноженное на 500, дает 250000. Берем 500 и 250000 в качестве опорных чисел.

Например:

506² =

506 больше, чем 500, поэтому рисуем кружок вверху. В него вписываем 6.

Число в кружке следует прибавлять к числу тысяч.

250 + 6 = 256 тысяч

Возведем в квадрат число в кружке:

6² = 36

256000 + 36 = 256036 ОТВЕТ

Разберем другой пример:

250 + 12 = 262

Промежуточный ответ — 262000

12² = 144

262000 + 144 = 262144 ОТВЕТ

Для возведения в квадрат чисел, которые немного меньше 500, используйте следующий способ.

Рассмотрим пример:

488² =

488 меньше, чем 500, поэтому рисуем кружок внизу. Поскольку 488 на 12 меньше, чем 500, вписываем в кружок 12.

250 тысяч минус 12 тысяч дает 238 тысяч. Прибавляем 12 в квадрате (12² = 144).

238000 + 144 = 238144 ОТВЕТ

Можно добиться результата еще более впечатляющим способом.

Например:

250000 + 35000 = 285000

35

² = 1225

285000 + 1225 = 286225 ОТВЕТ

Все это легко рассчитывается в уме. Мы использовали два ускоряющих метода: метод для возведения в квадрат чисел, близких по значению к 500, и метод для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

А как насчет 635?

250000 + 135000 = 385000

135² = 18225

Чтобы вычислить 135², мы используем способ для вычисления квадрата чисел, оканчивающихся на 5, и способ для перемножения чисел больше 10, но меньше 20 (13 + 1 = 14, 13 х 14 = 182). Приписываем 25 справа к 182, получаем: 135²= 18225.

Можно произносить полученный ответ так: «Восемнадцать тысяч, два, два, пять».

Чтобы прибавить 18000, прибавляем 20 и вычитаем 2.

385 + 20 = 405

405 — 2 = 403

Припишем 225 справа.

Искомый ответ: 403225.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 506² = __; б) 534² = __; в) 489² = __; г) 445² = __

Ответы:

а) 256036; б) 285156; в) 23912;1 г) 198025

Решим последний пример вместе:

250 — 55 = 195

(195 х 1000 = 195000)

55² = 3025 (используем способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5)

195000 + 3025 = 198025

Мы могли бы решить данный пример, используя лишь способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Число, составленное из цифр перед 5, равно 44.

Припишем 25 справа к промежуточному ответу 1980 и получим 198025.

Таким образом, у вас теперь есть несколько методов на выбор.

Числа, оканчивающиеся на 1

Данный способ применяется для возведения в квадрат любого числа, оканчивающегося на 1. Если вы попробуете перемножить два подобных числа традиционным способом, то поймете, почему данный метод работает. Например:

31² =

Во-первых, вычтем 1 из числа, возводимого в квадрат. Число теперь оканчивается на нуль, и его легко возвести в квадрат.

30² = 900 (3 х 3 х 10 х 10)

Это наш промежуточный результат.

Во-вторых, сложим 30 и 31 (число, которое мы возвели в квадрат, и число, которое собираемся возвести в квадрат):

30 + 31 = 61

Прибавим полученный результат к 900 и получим 961.

900 + 61 = 961 ОТВЕТ

На втором этапе решения вы могли бы просто удвоить число, которое ранее возвели в квадрат (30 х 2 = 60), а затем прибавить 1.

Разберем другой пример:

121² =

121 — 1 = 120