Быстрая математика: секреты устного счета

А вот путь, который предпочитаю я. Решим ту же задачу в обратном направлении. Скорее всего, именно так вас учили проверять ответ в примерах на вычитание. Прибавьте ответ к числу, которое вычитали, и если получили уменьшаемое (контрольное число), значит, ответ правильный.

Проделаем то же самое с числами-подстановками. Сложим их в направлении снизу вверх:

6 + 8 = 5

6 + 8 = 14 и 1 + 4 = 5

Ответ верный.

Теперь проверьте правильность решения нижеприведенных примеров посредством выбрасывания девяток. Если обнаружите ошибку, исправьте ее и еще раз проверьте ответ.

Все примеры были решены правильно, за исключением

в). Исправили ли вы этот ответ и проверили ли снова полученный ответ путем выбрасывания девяток? Правильный ответ — 7047.

а)

5672

- 2596

¯¯¯¯¯

3076

б)

5967

-  3758

¯¯¯¯¯

2209

в)

8542

-  1495

¯¯¯¯¯

7147

г)

3694

-  1236

¯¯¯¯¯

2458

Данный метод позволяет выявить большинство ошибок в примерах на сложение и вычитание. Используйте его и сделайте неотъемлемой частью своих вычислений. Займет он совсем немного времени, но поможет вам заслужить репутацию человека, исключительно точного в операциях с числами.

Глава 10

Возведение в квадрат

Возвести число в квадрат — значит умножить его на самого себя. Хороший способ представить себе это состоит в следующем. Если у вас во дворе нужно выложить плиткой квадратный участок и необходимо узнать, сколько для этого потребуется материала, то достаточно посчитать, сколько плитки пойдет на одну сторону, а затем умножить это число на самого себя. Если сторону участка занимают 3 плитки, тогда 9 плиток составят всю площадь участка (3 х 3 = 9). Если сторона составлена из 5 плиток, то весь квадрат состоит из 25 плиток (5 х 5 = 25).

5 в квадрате означает 5 х 5. Мы записываем это как 5. Маленькая 2, записанная после 5, означает, что речь идет о перемножении двух пятерок. А что означает маленькая 3, записанная после 5? Она означает, что надо перемножить подряд три пятерки. Это общепринятое математическое обозначение, и каждому человеку положено его знать. Вот несколько примеров:

5³ = 5 х 5 х 5

4⁵

= 4 х 4 х 4 х 4 х 4

7³ = 7 х 7 х 7

6² (произносится как «шесть в квадрате») = 36, потому что 6 х 6 = 36. Мы говорим, что 36 — это квадрат числа 6.

13² = 13 х 13 = 169

Мы легко можем вычислять подобные примеры, используя изученный выше метод перемножения чисел больше 10 и меньше 20. В частности, метод умножения с 100 использованием кружков особенно легко применять в отношении квадратов чисел, поскольку он лучше всего работает, когда перемножаемые числа являются близкими по значению. Добавлю, что все способы возведения в квадрат, представленные в настоящей главе, используют общий принцип перемножения чисел, рассмотренный нами ранее.

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Метод возведения в квадрат чисел, которые оканчиваются на 5, использует ту же формулу, что и общий метод перемножения, освоенный нами ранее.

Если нам необходимо найти квадрат числа, оканчивающегося на 5, отделим прежде всего последнюю цифру 5 от находящейся перед ней цифры (или цифр). Прибавьте 1 к числу, состоящему из отделенной цифры (цифр), а затем перемножьте результат сложения и число. Припишите 25 справа к результату умножения, и вы получите окончательный ответ.

Например:

35²

=

Отделим 5 от цифр впереди нее. В данном случае речь идет всего лишь о цифре 3, стоящей перед 5. Прибавим 1 к 3 и получим в результате 4.

3 + 1 = 4

Перемножим числа:

3 х 4 = 12

Припишем 25 (5 в квадрате) справа к 12. Полученное число и есть искомый ответ: 1225.

35² = 1225

Попробуем решить еще один пример:

75² (или 75 в квадрате) =

Отделим 7 от 5. Прибавим 1 к 7 и получим 8. 8 умножить на 8 равно 56. Это первая часть нашего ответа. Припишем 25 справа и получим искомый ответ: 5625.

75² = 5625

Сочетание этого метода с изученными ранее позволит получить еще более впечатляющие результаты. Рассмотрим это на примере:

135² =

Отделим 5 от 13. Прибавим 1 к 13 и получим 14. Произведение 13 х 14 дает 182 (используем метод, изученный в главе 2). Припишем 25 справа к 182 и получим ответ: 18225. Все эти расчеты можно легко произвести в уме.

135²

= 18225

Еще один пример:

965² =

96 плюс 1 дает 97. Умножим 96 на 97 и получим 9312. Теперь припишем 25 справа к результату и получим ответ: 931225.

965² = 931225

Впечатляет, не так ли? Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

a) 15² = __; б) 45² = __; в) 25² = __; г) 65² = __; д) 95² = __; е) 115² = __; ж) 145² = __; з) 955² = __

Если вы использовали бумагу и ручку, чтобы вычислить ответы, попробуйте теперь повторить вычисления в уме. Вы обнаружите, что ничего сложного в этом нет.

Ответы:

а) 225; б) 2025; в) 625; г) 4225; д) 9025; е) 13225; ж) 21025; з) 912025

Данный метод применим также к числам с десятичной запятой. Например, в случае 6,5 х 6,5 мы просто «забываем» о запятой и находим ей место лишь в самом конце вычислений.

6,5² =

65² = 4225