Быстрая математика: секреты устного счета

В данном случае, даже если мы попытаемся продолжить до следующего знака после запятой, то сразу же заметим, что после снесения еще одного нуля и выполнения следующего шага (240: 317) мы получим в ответе число меньше 1, то есть 0 и еще что-то. Это даст нам 42,8, что вполне удовлетворяет точности, которая требуется от ответа.

При делении на 317 самое большое число, на которое мы по-настоящему делили, равнялось 3. Благодаря этому вычисления оказались несложными.

В этой связи вполне справедливым кажется утверждение, что деление даже на достаточно большие числа в столбик — это несложная операция.

Какие числа вы использовали бы в качестве множителей при делении на следующие числа?

а) 78; б) 289; в) 723; г) 401

На вашем месте в качестве множителей я бы использовал:

а) 8 х 10 (80); б) 3 х 100 (300); в) 7 х 100 (700); г) 4 х 100 (400)

А какое приближенное число вы использовали бы в случае деления на 347? 347 ближе к 300, чем к 400, однако ни то, ни другое число не кажется подходящим выбором. Более простым подходом было бы удвоить и делитель, и делимое.

Например, чтобы разделить 33480 на 347, удвоим оба числа, что никак не повлияет на результат. Удвоив 33480, получим 66960; удвоив же 347, получим 694.

Теперь задача выглядит так: 66960 разделить на 694. Используем 700 в качестве приближенного числа. Легко оценить целую часть ответа в исходной задаче, разделив сначала 67000 на 700.

Разделив 67000 на 100, получаем 670. Затем, разделив 670 на 7, получаем 9 с остатком 4. Деление 40 (67000— 66960) на 7 дает без малого 6. Наше приближенное значение ответа составляет 96.

Решив исходный пример, получаем в ответе 96,48.

Однажды, участвуя в правительственной программе по повышению эффективности преподавания математики в школе, я заявил, что учу своих учеников тому, как использовать множители при делении на простые числа. Одному учителю показалось, что такого не может быть, и он попросил меня показать, как мне это удается.

Я показал учителям этой школы методы, изложенные в настоящей главе. Преподаватель, который усомнился в моей правоте, в конце презентации сказал: «Знаете, я всегда именно так и выполнял деление, но мне и в голову не приходило учить этому своих учеников».

Глава 14

Прямое деление

Если вы легко выполняете деление на однозначные числа, то деление столбиком не должно представлять для вас труда. Если вы делите на число, не являющееся простым (то есть на число, которое может быть разложено на множители), то задача не представляет особого труда. Деление на большие числа также не должно создавать проблем, если вы используете принцип приближенной оценки посредством множителей. Ниже я предлагаю альтернативный метод, который может быть использован для деления на двузначные и трехзначные числа.

Деление на двузначные числа

Рассмотрим пример:

2590: 73 =

Прежде всего округляем 73 до 70 и будем делить на 10 и 7, делая по ходу поправку на 3, которое держим в уме.

Делим число на 10. Это переместит запятую на одну позицию влево.

2590: 10 = 259,0

Теперь делим 259,0 на 7, делая одновременно поправку на 3.

25 делится на 7 три раза (3 х 7 = 21) с остатком 4. Таким образом, 3 — это первая цифра ответа. Переносим остаток, как при обычном способе деления. Приписав 4 к следующей цифре делимого (9), получаем 49. Внесем поправку путем умножения предыдущей цифры ответа (3) на цифру единиц (3) в исходном делителе (73). Получаем: 3 х 3 = 9. Вычтем 9 из 49 и получим 40. Теперь разделим 40 на 7. В ответе получается 5, поскольку 5 х 7 = 35 (остаток 5). 5 — это вторая цифра искомого ответа. Переносим остаток к следующей цифре, после чего работаем с числом 50.

Умножим последнюю полученную цифру ответа (5) на цифру единиц в исходном делителе (3). Получаем 15. Вычитаем 15 из 50 и получаем 35. Делим 35 на 7. Имеет место деление нацело, и в ответе получается 5. Остатка у нас нет, и в связи с этим у нас возникает проблема, что переносить к следующей цифре. Уменьшаем полученный ответ на 1 и получаем 4 с остатком 7 (замечание: 4 х 7 + 7 (остаток) = 5 х 7, то есть мы просто иначе выразили одно и то же число).

Умножим 4 на цифру единиц (3) и получим 12. Вычтем 12 из 70 и получим 58. 58, деленное на 7, дает 8 с остатком 2. Перенос 2 даст нам новое число для работы: 20. Достаточно ли оно велико? Нам придется вычесть 8 х 3 = 24 из 20. Полученный ответ снова слишком большой, поэтому уменьшаем его на 1 и получаем 7. 58, деленное на 7, дает нам 7 с остатком 9. Записываем 7 и переносим 9 дальше. Получили рабочее число 90. Далее: 7 х 3 = 21 и 90–21 = 69. Это приемлемо.

Поделив 69 на 7, имеем 9 с остатком 6. 9 — это следующая цифра ответа.

После соответствующей тренировки все вычисления могут быть выполнены в уме.

Рассмотрим другой пример:

2567: 31 =

30 — это 3, умноженное на 10, поэтому делим сначала на 10, а потом на 3, внося по ходу решения поправки.

2567: 10 = 256,7

25 делится на 3 восемь раз с остатком 1. 8 будет первой цифрой нашего ответа. Остаток 1 переносится к следующей цифре делимого, что дает нам 16.